2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）
x2?sin(x2)? . 2 . 1． limx???2xx2(ex?1)dx? x?e?1?22(?1)n?11n11121133 . 级数 ??()??()????()??的和是 .
22232n24. 微分方程 ??x?y'(x)?2y(x)?x?2 的解是
y(1)?1?5. 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 , 2 , 3 ； E 为三阶单位矩阵 , 则 A2?2A?E = 6. 有两个箱子, 第一个箱子里有3个新球, 2个旧球, 第二个箱子里有4个新球, 5个旧球 . 现从第一个箱子里随
机地取出一个球放到第二个箱子里, 再从第二个箱子里取出一个球, 若已知从第二个箱子里取出的球是新球, 则从第一个箱子里取出的是
新球的概率为
二．选择题. （本题共有6个小题，每一小题4分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．函数 f(x)?x?e?1x 有 ( ) 条渐近线 .
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 2. 下列级数中 ，（ ）是条件收敛级数 .
n（A） ?(?1) （B）
n?1n?n??(?1)2n?1 （C） ?nn?1???n?1??(?1)nn （D）
(?1)n?sinn .
?n2n?1??3．设函数 y?f(x) 在 [ 0 ，1 ] 上可导. 从定性上看，下列三个图像按 ( ) 的排序，依次分别是 y?f(x) 、y?f'(x) 和 y?f(t)dt 的函数图像 .
?0x（A） L1、L2和L3 （B） L2、L3和L1 （C） L3、L1和L2 （D） L3、L2和L1
yyyL1L1L2x1L301x
x00111TT4. 设 n 维行向量 ??(,0,??????,0,), 矩阵 A = E + 2?? , B = E ??? , 其中 E 为 n 阶单位阵 , 则
22TB = ( ) （A）. O（B） E （C） ?E （D） E???
5. 设 A 、B 是两个随机事件, 且 0 < P ( A ) < 1 , P ( B ) > 0 , P (BA) = P (BA) , 则必有 ( ) .
（A）P ( AB) = P (AB) （B） P ( A B ) = P ( A ) P ( B )（C） P ( A ) = P ( B ) （D） P ( A B ) = 6. 设随机变量 X 的概率密度为
对 X 独立地重复观察4次, 用 Y 表示观察值大于
P(B) P(A)x?1?cos,0?x??f(x)??22?,其它?0?
3的次数, 则P ( Y = 2 ) = ( ) .（A） 1 （B）
218 （C）5 （D）
83 8
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共8个小题，每小题8分，共64分） 1． 设 x?1 时，Ax2?Bx?C?ln2x?o((x?1)2) ，其中 o((x?1)2) 是当 x?1 时比 (x?1)2 高
阶的无穷小, 求常数 A、B、C 之值．
?arctanx,x?02．已知 f(x)?? ， x,x?0?1求 （1） f'(x) ； （2） f'(x) 在点 x?0 处是否连续 ？为什么 ？ 3. 设 z?z(x,y) 是由方程 z?x2?2y2?z3?1 所确定的二元函数 ；
（1） 该二元函数有无极值 ？如有，求出极值点 ；如无，说明理由 .
（2） 在约束条件 x?2y?1 下，该函数是否还有极值？如有，求出极值点 ；如无，
说明理由 .
4．设函数 y?f(x) 为连续函数. 对于任意实数a，如果总成立
??f(x)d??f(a)?1 ，其中 D 为直角坐标
D系 xoy 中直线 y?x,y?a 和 x?0 所围的封闭区域 ， 求 f(x) 的函数解析表达式 . 5. 设 A =
1?1??1??111?????1?11?? , 矩阵 B 满足 B A* = A
?1 + 2 B , 其中 A* 是 A 的伴随矩阵 , 求B .
6. 设矩阵A =
?3??k???4?2??1k??2?3??2 ， 求常数 k 及可逆阵 P ，使 P
?1AP 为对角阵 .
7. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
?0?xF(x)??A?Barcsin,a?1?x??a?a?x?ax?a
其中 a > 0 . 求 (1) A 和 B ; (2) 概率密度 f(x) ; (3) P(X?0). 8. 设随机向量 (X,Y) 的联合概率分布为
Y X 1 2 1 1/6 1/9 3 1/18
2
----------------------2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷------------------- 2 1/3 ? ? X 与 Y 独立, 求 : (1)
?、? ； （2）X 与 Y 的边缘分布 ； （3）X + Y的分布 .
四．应用题： （本题共3个小题，每小题9分，共27分）
1．试利用微分学方法 ，根据常数 k 的各种不同取值 ， 讨论曲线 y?e2x?ex?k 与曲线
y?2e2x?4ex?x?2k 的交点个数情况 .
---------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
2. 问 a 分别为何值时，方程组
?5x1?5x2?4x3?1? ?x1?x2?ax3?2
?x?ax?2x??123?1有唯一解, 无解, 无穷多解 ? 在有无穷多解的情况下, 用基础解系表示其通解 .
3. 某商店每周以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品，并以每千克 260 元的价格在市场上销售. 规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理，回收价格为每千克180元. 假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 [ 10 ，30 ] 上均匀分布的随机变量，试确定商店的周进货量 y ，使商店获利的期望值最大 .
五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题5分，共11分）
1． 设函数 f(x) 是 [0,1] 上的连续函数 ，f(t)dt?0. 试证：必至少存在一点 ??(0,1)，使得
?011f(?)??f(t)dt .
?2. 设 A 是 n ( n ? 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明：
1(E?A)?1?E?A .
n?1
2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学B》试卷
题 号 一 得 分
考试说明：
1、考试时间为150分钟；
3
二 三 四 五 总 分 复核 2、满分为150分；
3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）
1． 0 2 . 0 3 . ln3 /2 .4. y?x2?x?15. 576
6. 15/23
二．选择题. 1． D 2. C 3． D 4. B 5. B 6. D
三．计算题： 解：
Ax2?Bx?C?ln2x?0?A?B?C?0
得分 阅卷人
Ax2?Bx?A?B?ln2x0?lim?limx?1x?1(x?1)22Ax?B?2lnx?2(x?1)1x
?2A?B?02Ax2?2Ax?2lnx0?lim?limx?1x?12(x?1)x4Ax?2A?22x??A?1
?A?1,B??2,C?1
f(x)?f(0)arctanx?x?lim?02x?0x?0x
2．解：（1） （2）
x?0?f'(x)?x?(1?x2)arctanx
x2(1?x2)
x?0?f'(0)?limx?0limf'(x)?limx?0x?0 x?(1?x2)arctanx?022x(1?x)， f'(x) 在点 x?0 处连续 .
z'y?0?x0?0,y0?0
3.解：（1） z'x?2x?3z2?z'x?0 z'y?4y?3z2?z'y?0
z''xx?2?6z?(z'x)?3z?z''xx?0?A?z''xx(x0,y0)??22z'x?0,
21?3z02 z''xy?6z?z'x?z'y?3z2?z''xy?0?B?z''xy(x0,y0)?0
z''yy?4?6z?(z'y)2?3z2?z''yy?0?C?z''yy(x0,y0)??4822?0,A???0?z极大?z0?z(0,0)2B?AC??221?3z0(1?3z0)21?3z0 （2）
x?1?2y?z?(1?2y)2?2y2?z3?1
z'y?2(1?2y)(?2)?4y?3z2?z'y?0
zy?0?y0?13
y0?11 ?x0?1?2y0?33 z''yy?12?6z?(z'y)2?3z2?z''yy?0 4．
az''yy??1211 ?0?z极大?z(,)2331?3z
f'(0)?0
??f(x)d???(a?x)f(x)dx?f(a)?1?(a?x)f(x)dx?f(a)?1D00
aa??f(x)dx?f'(a)0
?f(0)??1?
?f(a)?f''(a)
?1f(a)??(ea?e?a)?21 f(x)??(ex?e?x)2
?110? 1???011??4??101??5. 解：A?4 右乘A：4B?E?2BA B=
(4E?2A)?1 6.解：
?E?A???3k?4?22?k???3??100?22?k?0??1
??1?2??10?1?1,?2??3??1 当??1时，??2 当???1时，
???4?22??1?k?0?k???k????0??4?22????12001? ??2?k??0???2??10?1? ?k??2?k?????010?????4?24???000???2?1?(1,0,1)T
4
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11?2?(?,1,0)T,?3?(,0,1)T22当k=0时，
1??1?2P??01??10??1?2?0??1??? ，
?100?
?????0?10??00?1??? ， PAP??
?17. （1）
x??alim?F(x)?lim?(A?Barcsinx??ax?)?A?B?0 a2
x? limF(x)?lim(A?Barcsin)?A?B?1??x?ax?aa2 A =
11? ，B = （2）?f(x)???2???1a2?x20 ?a?x?a
其它 （3）P（X>0）= 1?P(X?0)?1?F(0)?1?1?1
228. 解：(1) ????1
3 111?P(X?1,Y?2)?P(X?1)P(Y?2)?(??)939 ??2,??1
99(2) X的边缘分布为 X P 1 2 1/3 2/3 Y的边缘分布为 Y P X+Y 1 2 3 1/2 1/3 1/6 2 3 4 5 (3) X+Y的概率分布为 P 1/6 4/9 5/18 1/9 四．应用题： 解：讨论 f(x)?e2x?3ex?x?k,x?(??,??) 零点的个数 f'(x)?2e2x?3ex?1?0 f'(x)?0?x1??ln2,x2?0 f''(x)?4e2x?3ex,f''(?ln2)??1?0?x??ln221为极大值点 f''(0)?1?0?x2?0 为极小值点
5 f(?ln2)?k?ln2??f(0)?k?24f(??)???,f(??)???
5?f(0)?0 时 ?f(?ln2)?0 或者 k?24只有一个交点；
5当 k?ln2??f(0)?0 时，有两个交点； ?f(?ln2)?0 或者 k?245当 ln2??k?2?f(0)?0?f(?ln2) 时，有三个交点
42. ?5?5?41??1?a?2?1? a??4且a?1时,有唯一解;
当 k?ln2??????0a?1a?23?1?1a2????45???1?a?2?10?a????0??59??54a??时,无解;a?1时,有无穷多解. 当a?1时,
?5?1??1?2?1??1?101????0033???0011??99???00????0000??55?? 基础解系为 (1,1,0),通解为
T并x?c(1,1,0)T?(1,1,0)T , c为任意常数 . 3. 某商店以每千克200元的价格从生产厂家购进 y 千克某产品，以每千克 260 元的价格在市场上销售。规定一周内商店售不完的产品将作为再生原料由厂家回收进行处理，回
收价格为每千克180元。假定该产品每周的市场需求量 X 是服从区间 [ 10 ，30 ] 上均匀分布的随机变量，试确定商店的周进货量 y ，使商店获利的期望值最大。 解：设每周获利为L，
5
y30 X?y = ?60y, ?60y, X?y 60y80x?20y L??EL??dx??dx?2020?60X?20(y?X), X?y?80X?20y, X?yy10??2y2?100y?200
dEL ??4y?100?0dyy?25 9分
五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题5分，共11分）
1．设函数 f(x) 是 [0,1] 上连续函数, ?f(x)dx?0；试证：必至少存在一点 ??(0,1) ，使得 f(?)?01111f(t)dt . ??证明 ： g(x)?e?f(t)dt,?xxx?[0,1] ； 则 g(1)?0 g(0)?e?f(t)dt?0
?0011 由微分中值定理 ???(0,1):g'(?)?0
11g'(x)?ex??f(t)dt?ex(?f(x))?ex[?f(t)dt?f(x)]xx
?0?g'(?)?e[?f(t)dt?f(?)]???f(?)??f(t)dt …… 6 分
?2. 设 A 是 n ( n ? 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明：
(E?A)?1?E?1A . n?1证：令 ??(1,1,?,1) ， ? ?A??T?
A2??T??T??n?T??nA …… 2分
(E?A)(E?111A)?E?A?A?A2?E n?1n?1n?11?(E?A)?1?E?A …… 5分
n?1
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07年2+2高等数学B试卷+答案
