高考数学总复习 课时作业22 正弦定理和余弦定理试题 文 新人教A版

课时作业(二十二) 正弦定理和余弦定理

A 级

1．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝45°，则角A＝( ) A．30°或150° C．60°

B．60°或120° D．30°

2．在△ABC中，a＋b＋10c＝2(sin A＋sin B＋10sin C)，A＝60°，则a＝( ) A.3 C．4

B．23 D．不确定

2

2

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sin C＝23sin

B，则A＝( )

A．30° C．120°

B．60° D．150°

π

4．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝，S△ABC＝3，

3则△ABC的周长为( )

A．6 C．4

B．5 D．4＋23

b－c－a5．在△ABC中，A＝120°，b＝1，面积为3，则＝( )

sin B－sin C－sin AA.239

3

B．

39 3

C．27 D．47

π

6．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝23，则

6

b＝________.

7．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若sin A，sin B，sin C成等比数列，且c＝2a，则cos B＝________.

8．在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于________． 9．△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC边的长为________．

10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－2asin C＝bsin

B．

(1)求B；

(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.

1

cos A－2cos C2c－a11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.

cos Bbsin C(1)求的值；

sin A1

(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．

4

B 级

1．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形( )

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形

D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形

2．在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c＝b＋2bc，则三内角A、B、C的度数依次是________．

2c－bcos B3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.

acos A(1)求角A的大小；

2

2

2

(2)若a＝25，求△ABC面积的最大值．

详解答案

课时作业(二十二)

A 级

aba21

1．D 由正弦定理＝得，sin A＝sin B＝sin 45°＝，又因为b>a，故

sin Asin Bb22A＝30°.

2．A 由已知及正弦定理得

＝2，a＝2sin A＝2sin 60°＝3，故选A.

sin Aa3．A 由＝及sin C＝23sin B，

sin Bsin C得c＝23b，

bcb2＋c2－a2－3bc＋23bc3

∴cos A＝＝＝.

2bc2bc2

∵A为△ABC的内角，∴A＝30°.

1π3

4．A 由S△ABC＝absin ＝ab＝3，得ab＝4.

234π222

根据余弦定理知4＝a＋b－2abcos ＝(a＋b)－3ab，

3所以a＋b＝4.故△ABC的周长为a＋b＋c＝6，选A. 5．C ∵A＝120°，∴sin A＝12

3， 2

S＝×1×AB×sin A＝3，∴AB＝4.

根据余弦定理可得，BC＝AC＋AB－2AC·ABcos A＝21， ∴BC＝21. 根据正弦定理可知：

2

2

2

b－c－aBC＝＝27，故选C.

sin B－sin C－sin Asin Aπ

6．解析： ∵a＝2，B＝，c＝23，

6∴b＝a＋c－2accos B＝

2

2

4＋12－2×2×23×3

＝2. 2

3

答案： 2

7．解析： ∵sin A，sin B，sin C成等比数列， ∴sin2

B＝sin A·sin C， 由正弦定理得，b2

＝ac，

a2＋c2－b2a2由余弦定理得cos B＝2ac＝＋c2－ac2ac

＝a2＋4a2－2a23

4a2

＝4

. 答案： 34

8．解析： 由余弦定理得BC2

＝AB2

＋AC2

－2AB·ACcos 30°， ∴AC2

－23AC＋3＝0，∴AC＝3.

∴S＝1113

△ABC2AB·ACsin 30°＝2×2×3×2＝2.

答案：

32

9．解析： 设三角形三边长分别为a、b、c， 依题意知，a＋b＋c＝20，1

2bcsin A＝103，

所以bc＝40，根据余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120，

解得a＝7. 答案： 7

10．解析： (1)由正弦定理得a2

＋c2

－2ac＝b2

. 由余弦定理得b2

＝a2

＋c2

－2accos B. 故cos B＝

2

2

，因此B＝45°. (2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6

4

. 故a＝b×sin Asin B＝2＋6

2

＝1＋3，

c＝b×

sin Csin 60°sin B＝2×sin 45°

＝6. 11．解析： (1)由正弦定理，可设abcsin A＝sin B＝sin C＝k，

则2c－a2ksin C－kb＝sin Aksin B＝2sin C －sin Asin B，

4

cos A－2cos C2sin C－sin A所以＝，

cos Bsin B即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．

sin C又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A．因此＝2.

sin Asin C(2)由＝2，得c＝2a.

sin A112222222

由余弦定理及cos B＝，得b＝a＋c－2accos B＝a＋4a－4a×＝4a.所以b＝2a.

44又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.

B 级

1．C 依题意得

asin A＝

bsin B，sin B＝

bsin A100sin 30°5153

＝＝，<<，因此a808282

30°90°，此时△

ABC是钝角三角形；若120°

是钝角三角形，选C.

2．解析： 由题意知a＝2b，a＝b＋c－2bccos A， 即2b＝b＋c－2bccos A， 又c＝b＋2bc， ∴cos A＝

21

，A＝45°，sin B＝，B＝30°，∴C＝105°. 22

2

22

2

2

2

2

2

答案： 45°，30°，105° 2c－bcos B3．解析： (1)因为＝，

acos A所以(2c－b)·cos A＝a·cos B.

由正弦定理，得(2sin C－sin B)·cos A＝sin A·cos B， 整理得2sin C·cos A－sin B·cos A＝sin A·cos B， 所以2sin C·cos A＝sin(A＋B)＝sin C. 1π

在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，A＝.

23

b2＋c2－a21

(2)由余弦定理cos A＝＝，

2bc2

又a＝25，所以b＋c－20＝bc≥2bc－20. 所以bc≤20，当且仅当b＝c时取“＝”． 1

所以△ABC的面积S＝bcsin A≤53.

2

5

2

2