11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= . 【答】
．
解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x， 在Rt△A1BM中，
，
∴=
，∴x =A1M=， .
∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=
12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为 .
【答】20．
解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，
∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.
三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分） 13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？
解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，
则有4分
∴
，
，即
≥0，即0＜z≤14
，.
易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34, ……………………………………
.
∵x，y，z均为正整数，分
∴z只能取14，9和4. …………………………………………………8
①当z为14时， =2，=28. .
②当z为9时， =26，=18. .
③当z为4时， =50，=8. .
综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支. ……………………………………………………………………14分
14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于
F，AE=6.
（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；
（2）若AE=2EB.
①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长； ②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）
14、解：（1）在Rt
中，
…………………………………
………………………5分
（2）①
∽
.
………………………7分
若⊙则可设
与直线DE、AB都相切，且圆心
在AB的左侧，过点
作
于
，
. 解得
…………………10分 若⊙，则可设
与直线DE、AB都相切，且圆心
在AB的右侧，过点
作
于
解得
即满足条件的圆的半径为或
6.…………………………………………13分
②
6
个.………………………………………………………………………………………16分
15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA = AB =BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.
（1）连接PA、PE，求证：PA=PE； （2）连接PC，若PC+PE=
，试求AB的最大值；
（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.
解：（1）证明：如图1，连接AE.
…………………………………………………………5分
(2)∵PC+PE=
，∴PC+PA=.
显然有OB=AC≤PC+PA=.……………7分
，
在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=∴
≤
，∴≤2.
即AB的最大值为2. …………………………10分 (3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4. 分三种情况讨论：
①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形. 过N作NF⊥x轴，垂足为F， ∵A点坐标为（1，
），∴ 可设N点坐标为（，
），则DF=a－m，
NF=，FC=4－a. ∵△OMD∽△FND∽△FCN，
∴
.
解得，分
，即当0<<时，△MNC为钝角三角形；…14
②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；………………15分
③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形.
∴当
<
<4时，△MNC为钝角三角形.
综上所述，当0<
<或<<4时，△MNC为钝角三角形. …1
2014年全国初中数学竞赛预赛
