[课时作业] [A组 基础巩固]
1．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数
解析：根据平均变化率的概念知，选A. 答案：A
2．函数f(x)在x0处可导，则lim
h→0
fx0＋h－fx0
( )
h
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h均无关
解析：由导数的概念可知，lim
h→0
fx0＋h－fx0
＝
h
f′(x0)，仅与x0有关，与h无关．故选B. 答案：B
3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim
Δx→0
Δy
等Δx
于( )
A．2 C．2＋Δx
B．2x D．2＋Δx2
解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)， ∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2. Δy
∴Δy＝(Δx)2＋2Δx.∴＝2＋Δx.
Δx∴lim
Δx→0
Δy
＝lim (2＋Δx)＝2.故选A. ΔxΔx→0
答案：A
4．若f′(x0)＝－3，则lim
h→0
fx0＋h－fx0－h
＝( )
h
B．－6 D．－12
A．－3 C．－9
解析：由题意可得：
lim
h→0
fx0＋h－fx0－h
h
fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－h
hfx0＋h－fx0fx0－h－fx0
＋lim hh→0－h
＝lim
h→0
＝lim
h→0
＝f′(x0)＋f′(x0) ＝2f′(x0)＝－6. 答案：B
5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A．圆 C．椭圆
B．抛物线 D．直线
解析：当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D. 答案：D
6．已知一次函数y＝kx＋b，则其在区间[m，n]上的平均变化率为________． kn＋b－km－bΔyfn－fm
解析：＝＝＝k，
Δxn－mn－m∴函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为k. 答案：k
7．若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1. Δs解析：＝
Δt
Δt→0
t＋Δt
2
＋8－Δt
t2＋1. 14
＝7Δt＋14t，
当lim (7Δt＋14t)＝1时，t＝1
答案： 14
8．若f′(x0)＝－3，则lim
h→0
fx0＋h－fx0－3h
＝________.
h
解析：∵f′(x0)＝lim
h→0
fx0＋h－fx0
＝－3.
h
∴lim
h→0
fx0＋h－fx0－3h
h
fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－3h
hfx0－3h－fx0??fx0＋h－fx0＋3·? h－3h??fx0＋h－fx0fx0－3h－fx0
＋3·lim hh→0－3h
＝lim
h→0
＝lim ?
h→0
＝lim
h→0
＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.
答案：－12
9．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
解析：∵Δy＝3(1＋Δx)2－3×12＝6Δx＋3(Δx)2， ∴
ΔyΔy
＝6＋3Δx，∴y′|x＝1＝lim ＝lim (6＋3Δx)＝6. ΔxΔx→0ΔxΔx→0
10．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，求a的值． 解析：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝a(x＋Δx)3＋3(x＋Δx)2＋2－(ax3＋3x2＋2)＝3ax2Δx＋3ax(Δx)2＋a(Δx)3＋6xΔx＋3(Δx)2， Δy
所以＝3ax2＋3axΔx＋a(Δx)2＋6x＋3Δx，
ΔxΔy
所以Δx→0时，→3ax2＋6x，
Δx即f′(x)＝3ax2＋6x，
10
所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.
3
[B组 能力提升]
1．已知点P(2,8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为( ) A．2 C．6
解析：Δy＝2(2＋Δx)2－2×22 ＝8Δx＋2(Δx)2， xΔy8Δx＋＝ΔxΔx
2
B．4 D．8
＝8＋2Δx，
Δy
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数8.
Δx答案：D
2．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1 B．k1>k2 D．无法确定 fx0＋Δx－fx0 解析：因为k1＝＝2x0＋Δx， Δxk2＝ fx0－fx0－Δx ＝2x0－Δx， Δx 又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定． 答案：D 3．若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________． 3 Δva－12 解析：Δv＝a－1，∴＝＝a＋a＋1＝21， Δxa－1 3 ∴a2＋a－20＝0，∴a＝4或a＝－5(舍去)． 答案：4 4．已知f′(x0)＝lix→mx 0 fx－fx02x－3fx ，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则lim 的值 x→3x－x0x－3 是________． 解析：lim x→3 2x－3fx ＝ x－3 －3f f －fxx－3x－x－3 fx－f x－3 ＝2－3×(－2)＝8. lim x→3 2x－3fx＋3f x－32x－3f x－3 ＋lim x→3 ＝lim x→3 由于f(3)＝2，上式可化为lim x→3 －3lim x→3 答案：8 120 5．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)， t＋5t为太阳落山后的时间(单位：min)． (1)从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解析：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为 120120T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温下降 0＋510＋5了16 ℃. ΔTT(2)平均变化率＝Δt－1.6(℃)． 它表示从t＝0到t＝10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. 120120 ＋15－－15 ＋Δt＋55＋5 ＝ Δt －T10 ＝－16 ＝ 10 (3)T′(5)＝lim Δt→0 －1.2， 它表示T＝5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. 6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什 么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ 解析：山路从A到B高度的平均变化率为 hAB＝ Δy10－01＝＝， Δx50－05 山路从B到C高度的平均变化率为 hBC＝ Δy15－101＝＝， Δx70－504 ∵hBC＞hAB， ∴山路从B到C比从A到B要陡峭．
人教版高中数学选修2-2 练习：第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念
