一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力。
研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：
（1）多面体外接球半径的求法，当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体. （2）与球的外切问题，解答时首先要找准切点，可通过作截面来解决. （3）球自身的对称性与多面体的对称性； 二．解题策略 类型一 柱体与球
【例1】（2020·河南高三（理））已知长方体ABCD?A1B1C1D1的表面积为208，AB?BC?AA1?18，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A．116? 【举一反三】
1.（2020·河南高三模拟）已知三棱柱的底面是边长为3的等边三角形，侧棱垂直于底面且侧棱长为2，若该棱柱的顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A．
B．106?
C．56?
D．53?
7? 3B．
11? 3C．5? D．8?
2.（2020·安徽高三（理））已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体， 得到的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形，若此正三角形的边长为a，则这个球的表面积为（ ）．A．?a
3
4
2
B．3?a2 C．6?a2
D．?a
32
2
3．（2020·河南高三（理））有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm，高度为100cm，现往里面装直径为10cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：2?1.414,3?1.732,5?2.236）
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A．22个
类型二 锥体与球
B．24个 C．26个 D．28个
【例2】（2020·辽宁鞍山一中高三）已知四棱锥P?ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P?ABCD外接球的表面积是（ ）
A．20? 【举一反三】
B．
101? 5C．25? D．22?
1.（2020四川省德阳一诊）正四面体ABCD的体积为，则正四面体ABCD的外接球的体积为______．
3
??3
2．（2020·宁夏育才中学）《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有很多对几何体体积的研究,已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π,高为h的圆柱,上面是一个底面积为32π,高为h的圆锥,若该容器有外接球,则外接球的体积为
3．（2020·贵阳高三（理））在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，?PAD是一个正三角形，若平面PAD?平面ABCD，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A．
14? 3B．
28? 3C．
56? 3D．
112? 3类型三 构造法（补形法）
【例3】（2020延安高考模拟）刘徽《九章算术?商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
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A．√3?? 【举一反三】
B．2??
√3C．3?? D．4??
1.（2020宁夏石嘴山模拟）三棱锥?????????中，侧棱????与底面??????垂直，????=1，????=2，????=3且????⊥????，则三棱锥?????????的外接球的表面积等于__________．
2.（2020菏泽高三模拟）已知直三棱柱?????????1??1??1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和√3，此三棱柱的高为2√3，则该三棱柱的外接球的体积为 A．
38??
B．
16??3
C．
32??3
D．
64??3
3．（2020·贵州高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
4 3B．
5 38C．
3D．
16 3类型四 与球体相关的最值问题
【例4】（2020·福建高三期末（理））在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h?（ ） A．
14 3B．
13 4C．
7 2D．
16 3【举一反三】
1.（2020·广东高三（理））我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC?BC，若AA1?AB?2，当阳马B?A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC?A1B1C1的外接球体积为（ ）
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A．22? B．82? 3C．142? 3D．42π
2．（2020·遵义市南白中学高三期末）已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上，AB?BC?6，?ABC?90?，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．4?
B．8?
C．16?
D．32?
3．（2020·河南高三（理））菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，沿对角线AC将三角形ACD折起，当三棱锥D－ABC体积最大时，其外接球表面积为（ ） A．
15? 3B．
215? 3C．
20? 9D．
20? 3三．强化训练 一、选择题
1．（2020·广西高三期末）棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥E?BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E?BCD的表面积为（ ） A．3?32a 4B．3?32a 6C．3?32a 6D．3?32a 42、（2020辽宁省师范大学附属中学高三）在三棱锥?????????中，????=????=√41，????=????=5，????=????=√34，则三棱锥?????????外接球的表面积为（ ） A．25??
B．25√2??
C．50??
D．50√2??
3．（2020·安徽高三期末）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷13中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（ ）
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A．2:1:3 B．2:2:3 C．2:2:1 D．2:2:3
4．（2020·北京人大附中高三）如图，在四棱锥S?ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB?23，AD?2，
?ASB?120?，SA?AD，则四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．16? B．20? C．80? D．100?
5．（2020河南省郑州市一中高三）在三棱锥?????????中，????⊥平面??????，∠??????=120°，????=√2,????=2，M是线段????上一动点，线段????长度最小值为√3，则三棱锥?????????的外接球的表面积是（ ） A．2 9??
B．9√2?? C．18?? D．40??
6、（2020河南省天一大联考）某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为2的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为2和1的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ）
A．7?? C．9??
B．8?? D．10??
7．（2020·江西高三期末（理））如图，三棱锥P?ABC的体积为24，又?PBC??ABC?90?，BC?3，
AB?4，PB?410，且二面角P?BC?A为锐角，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
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专题4.2 与球相关的外接与内切问题(原卷版)
