专题12 韦达定理及其应用
1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2，那么x1?x2??2bc，x1x2?。也就是说，aa对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；
（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020?泸州）已知x1，x2是一元二次方程x﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x1+4x1x2+x2的值是 ． 【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α+β的值为（ ） A．12
B．10
C．4
2
2
2
2
2
2
2
D．﹣4
【例题2】（2020?江西）若关于x的一元二次方程x﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为 ． 【对点练习】 已知方程
的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
2
2
【对点练习】（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x+（3k+1）x+2k+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k，则k的值为 ．
【例题3】（2020?随州）已知关于x的一元二次方程x+（2m+1）x+m﹣2＝0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
2
2
1
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【对点练习】（2019?湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x﹣6x+（4m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值． 【例题4】（2020湖北黄石模拟）已知方程根的方程。
【对点练习】（2019山东淄博模拟）若x1+x2＝3，x1+x2＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ） A．x﹣3x+2＝0
2
2
2
2
的两根，求作以为两
B．x+3x﹣2＝0
2
C．x+3x+2＝0
2
D．x﹣3x﹣2＝0
2
一、选择题
1. （2019?江苏泰州）方程2x+6x﹣1＝0的两根为x1、x2则x1+x2等于（ ） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
2. （2019?广东）已知x1.x2是一元二次方程了x﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ） A．x1≠x2 B．x1﹣2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1·x2=2 3.（2019?广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x﹣2x+m＝0的两实根，且
2
2
2
2
+＝﹣，
则m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 二、填空题
4．（2020?内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为 ．
22
2
2
5.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ ． 6.（2019年四川攀枝花）已知x1，x2是方程x﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2＝ ．
7.（2019年四川成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x1+x2﹣x1x2＝13，则k的值为 ．
8.（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 ． 三、解答题
9．（2020?鄂州）已知关于x的方程x﹣4x+k+1＝0有两实数根． （1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且
3
2
2
2
2
2
2
2
2
??1
+
3??2
=x1x2﹣4，求实数k的值．
2
10．（2020?南充）已知x1，x2是一元二次方程x﹣2x+k+2＝0的两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）是否存在实数k，使得等式
1
??1
+
1??2
=k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
2
11. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx－3x+1＝0有实数根. (1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.
12.（2019孝感）已知关于x的一元二次方程x﹣2（a﹣1）x+a﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝16，求a的值． 13.已知：x1、x2是两个不相等的实数，且满足的值。
14. 已知关于x的一元二次方程
与
有一个相同的根，求k的值。
2
2
2
2
，那么求
3
2021年中考数学点对点突破的55个特色专题12 韦达定理及其应用(原卷版)
