高考数学中的内切球和外接球问题
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为
24，则该球的体积为______________. 43?.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .14?.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）. C.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的
9顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为３，则这个球的体
积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
仅供借鉴#
??6x?3,??x?1?932???2,1?8?6?4xh,??h?3．r? ∴正六棱柱的底面圆的半径2，球心到底面的
d?321?V球?4?距离
.∴外接球的半径R?r2?d2?.3.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
3，则其外接球的表面积是_______________.9?
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球
的半径为R，则有
?2R?2??3?2??3?2??3?2?9R2?9.∴
4.故其外接球
的表面积
S?4?R2?9?. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为
a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长
就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R?a2?b2?c2.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
1
【例题】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长即：
所以
球的表面积为
例 6.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A. 3? B. 4? C. 33? D. 6?
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半
径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，四面体A?BDE满足条件，即
AB=AD=AE=BD=DE?BE?2，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线
为3，从而外接球的直径也为3，所以此球的表面积便可求得，故选A. 例7．在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，?DAB=600，E为AB的中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱
仅供借鉴#
锥P-DCE的外接球的体积为（ ）.
43A. 27?6 B. 2?66 C. 8?? D. 24
解析： 因为AE=EB=DC=1，?DAB=?CBE=?DEA=600，所以
AD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这
与例6就完全相同了，故选C.
例8 .已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，
DA=AB=BC=3，则球O的体积等于 .
解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA?平面ABC，AB?BC，联想长方体中的相应线段关系，构造长方体，又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方
体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等
9于2?.
2、构造长方体
例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB?平面BCD，BC?DC，
2
若AB?6,AC=213,AD=8，则球的体积是 .
解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出?BOC即可，在Rt?ABC中，求出BC=4，所以?BOC=600，故B、C两点间的球面距
43?离是.
三.多面体几何性质法
例1 0.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16? B.20? C.24? D.32?
解 设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x2?16，解得
x?2.
∴2R?22?22?42?26, ?R?6.∴这个球的表面积是
4?R2?24?.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球
的直径”这一性质来求解的.
仅供借鉴#
四.寻求轴截面圆半径法
例11.正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点
S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .
S解 设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为O，如图1
DC所示.∴由球的截面的性质，可得OO1?平面ABCD.
O1A图3B又SO1?平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上.
∴?ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的
半径.在?ASC中，由SA?SC?2，AC?2，得SA2?SC2?AC2.∴
AC?ASC是以AC为斜边的Rt??1.∴2是外接圆的半径，也是外接球的半径.V球?4?故
3.
五 .确定球心位置法
例11.在矩形ABCD中，AB?4,BC?3，沿AC将矩形ABCD折成一个
3
内切球和外接球例题(仅限借鉴)
