人教版高中数学选修1-1教学设计
2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）
【教学目标】: 能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题;体会数形结合思想在解
题中的应用,并能应用几何性质解决有关问题.
【重点】：抛物线几何性质的掌握与应用；数形结合及转化思想在解题中的作用. 【难点】：转化思想的运用. 【预习提纲】
1. 在直角坐标系中证明过两点的直线与坐标轴平行，可转化为证明这两点的
横坐标（或纵坐标）相等.
20
2. 当一个点在抛物线y?2px(p?0)上时,点的坐标可设为(x0,y0),也可设为(2??,??0);
??2
点到焦点的距离为x0?2p. 2p,0)的直线交抛物线于两点23. 过抛物线y?2px(p?0)的焦点F(p2A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1x2?，y1y2?-p2.
44. 斜率待定的直线与抛物线联立,消去y(或x)，得到关于x(或y）的方程. (1). 二次项系数等于0,所得直线与抛物线是有一个交点;
(2). 二次项系数不等于0, ??0,所得直线与抛物线位置关系是相切;
(3). 二次项系数不等于0, ?>0,所得直线与抛物线位置关系是相交有两个交点; (4). 二次项系数不等于0, ?<0,所得直线与抛物线位置关系是相离.
5. 直线y?kx?b与抛物线y?2px(p?0)相交于A、B两点,则AB?21+k2x2?x1(x1,x2分别为A,B的横坐标）.
【基础练习】
1．过M（2,0)作斜率为1的直线l.交抛物线y?4x于A、B两点，求AB. 解: 由题意知l的方程为y?x?2,与y?4x联立得: x2?8x?4?0,则x1+x2?8,
22 1
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x1x2?4.所以AB=1?12x2?x1?22?x1?x2?2?4x1x2 =46 .
2. 垂直于x轴的直线交抛物线y?4x于A、B两点，且AB?43，求直线AB的方程.
解: 设直线AB的方程为x=a(a>0).将x=a代入抛物线方程y?4x得: y?4a. 即
22y=?2a.因为
AB?2y?2?2a?4a?43,所以
a=3.因此，直线AB的方程为x=3.
3. 抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为2． 4. 过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ C ） (A) 0条 【典型例题】
例1 在抛物线y?4x上求一点，使它到直线Ｌ：4x-y-5=0的距离最短，并求此距离. 【审题要津】经分析可知直线与抛物线相离,因此平移直线至与抛物线相切时得切点,切点到直线4x-y-5=0的距离最短.
解：设与直线4x-y-5=0平行的直线方程为y?4x?b,与抛物线y?4x联立得:
22 (B) 1条 (C) 2条 (D) 3条
4x2-4x?b?0.由??(?4)2?4?4?(?b)?16?16b?0,得b=-1,所以切线方程为
111y?4x?1，再由4x2?4x?1?0,得x?,y?4??1?1 .所以切点为(,1).最短距离
222为417. 17【方法总结】若曲线和直线相离,在曲线上求一点到直线的距离最小问题,可找与已知直
线平行的直线,使其与曲线相切,则切点为所要求的点.
变式：在抛物线y?2x上求一点P，使P到直线x?y?3?0的距离最小，并求出距离的最小值.
解: 设与直线x?y?3?0平行的切线为x?y?t?0,与y?2x联立消去x，得
22111y2?2y?2t?0,由??0得t?,此时y?1,x?，所以点p的坐标为(,1),两平行线间
222 2
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的距离就是P到直线的最小距离为
252. 4例2 已知抛物线y??x与直线y?k?x?1?相交于A,B两点. (1) 求证: OA?OB;
(2) 当?AOB的面积等于10时,求k的值.
【审题要津】(1)求证OA?OB,可分别设出A,B的坐标,然后运用整体代换的思想求证
OA和OB所在直线的斜率之积为-1;
(2) 可把?AOB的面积转化成两个小三角形的面积,用面积相等求出k的值.
2??y??x,解：(1) 如图 ,由方程组?
??y?k?x?1?,消去x并整理得ky?y?k?0 .
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理知:
2y1gy2??1,QkOAgkOB?所以OA?OB.
y1y21g???1 x1x2y1y2(2) 设直线与x轴交于点N，又显然k?0， 所以令y=0,则x=-1,即N(-1,0).
Qs?OAB?s?OAN?s?OBN??s?OAB1??1?2111ONy1?ONy2?ONy1?y2, 2222?y1?y2?1?1?1 , ?4y1y2???4Qs?10?k??. ?OAB??2?k?62【方法总结】本题体现了整体运算的思想以及转化思想的应用. 自我测评：
1. 直线y?kx?k与抛物线y?2px(p?0)的公共点的个数是（ C ） （A）1 （B）2 （C）1或2
22（D）可能为0
2. 直线y?kx?2与抛物线y?8x交于A,B两点,且AB的中点的横坐标为2,则k的值是（ B ）
（A）-1
（B）2 （C）-1或2
3
（D）以上都不是
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3.抛物线y 2=12x截直线y?2x?1所得的弦长等于（ A ）
15（A）15 （B）215 （C）2 (D) 15
4. 设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y?2px(p?0)上的两点并且满足OA?OB,则
2y1gy2? ( A ).
224p?4p(A) （B）
222p?2p(C) (D)
5. 抛物线y?2px(p?0)与直线ax?y?4?0交于A,B两点,其中点A的坐标是(1,2),设抛物线的焦点为F,则FA+FB= ( A ).
(A)7 (B) 35 (C)6 (D) 5
2y?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为45?的直线交抛物线于A,B两点,若6. 过抛物线
2线段AB的长为8,则p的值为2.
7. 直线y?x?b与抛物线x?2y交于A,B两点O为坐标原点,且OA?OB,则b的值是（ A ）.
(A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1
8. 过抛物线y?2px(p?0)的焦点F作一条直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则
22y1y2的值为（ B ） x1x22p(B)-4 (C)
22?p(D)
(A) 4
9. 定长为4的线段AB的两端点A,B在抛物线x?4y上移动,则中点M的纵坐标的最小值是（B）
1(A) 2
(B)1 (C) 2 (D) 4
4
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10. 动直线y =a，与抛物线y?点M的轨迹的方程．
21x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线段AB中2?x?a2解：设M的坐标为（x，y），A（2a，a），又B(0,3a)得?
y?2a?2y22消去a，得轨迹方程为x?，即y?4x .
4 5
人教版高中数学优质教案1：2.3.2 抛物线的简单几何性质(二) 教学设计
