非对称双环神经网络系统的稳定性和Hopf分岔
周帅1 肖敏1 邢蕊桃1 张跃中1 程尊水2
【摘 要】摘要 环型结构在神经网络中普遍存在，目前对环型神经动力学分岔研究大多数局限于单环情形.值得注意的是，神经网络由成千上万个神经元耦合而成，这些复杂的神经元网络结构不可能只由一个环形结构来准确表述，因此研究具多环拓扑的神经网络模型更具实际意义.本文提出了一种非对称双环神经元网络模型，选择单环的时滞和为分岔参数，分析了双环模型的稳定性和Hopf分岔.最后给出数值仿真对结论进行了验证. 【期刊名称】南京信息工程大学学报 【年(卷),期】2019(011)004 【总页数】7
【关键词】关键词 神经元网络；Hopf分岔；离散时滞；环型网络
资助项目 国家自然科学基金 (61573194)；江苏省自然科学基金(BK20181389)
0 引言
近年来，随着计算机技术以及人工智能的快速发展，神经元网络得到了越来越多研究者们的青睐.无论是在人工神经元网络的研究还是生物神经元网络的研究都已经取得相对成熟的理论结果和应用.目前比较为大家所熟知的神经元网络应用有图像识别[1]、信号去噪[2]、深度学习[3-4]、智能控制[5]、故障诊断[6]等方面.对于神经元网络的研究，有助于加强人们对大脑的认知以及建立更加准确的人工神经元网络模型和深度学习算法.但由于神经元网络的复杂性，人们对神经元网络的简单建模和分析是远远不够的.当前对神经元网络的研究趋势是低维向高维度的转变、简单拓扑结构向复杂拓扑结构的转变.
环型拓扑结构是神经元网络中一种重要的拓扑结构，该结构存在于小脑[7]、基因[8]、大脑皮层等许多神经结构中[9-10].通过对环型神经元网络的研究，人们可以深入了解环型神经元网络的动态行为机理.环型神经元网络的拓扑结构主要分为单向拓扑连接结构以及双向拓扑连接结构.对于环型神经元网络的研究已经取得了许多杰出的成果[9-12].令人遗憾的是，前人对于环型神经元网络的研究大多局限于单环结构的研究，却忽视了环状神经元网络结构环与环之间的拓扑联系.单环神经元网络模型的研究对神经元网络的研究是一种进步，但是对于神经元网络的研究来讲仍然有很大的研究空间.此外，Cheng等[13]研究了一类三个三角形的环型时滞耦合神经元网络，但是其每个环都具有三个节点，不具有非对称的一般性.本文考虑了具有不同节点数的两个环型神经元网络的耦合结构，对其进行稳定性和Hopf分岔分析.
在神经元网络信息的传递过程中，信息在神经元细胞内的处理需要消耗一定时间，此外神经元细胞中的突触前细胞将信息传递给突触后细胞的传递也需要一定的时间做准备.虽然神经元传递信息的时间在人类观感中比较快，但是一般认为神经网络的时滞是不可避免的，也是不能忽视的一个重要的参数.在当前神经元网络的研究中，人们对神经元网络中时滞的研究主要有分布时滞[14]、泄漏时滞[15]以及离散时滞[16]等.时滞又叫时延，它们对于系统动态性能的影响是十分显著的.时滞往往会导致系统的动力学行为变差，使得系统的稳定区域变窄，甚至在比较苛刻的情况下，时滞会导致系统平衡点失稳.因此，研究神经元网络中时滞对系统动力学行为的影响具有特别重要的理论价值和实践价值.
Hopf分岔理论是研究者们研究系统动力学稳定性的一个重要的工具.通过对系统某个指定参数进行Hopf分岔分析，可以根据系统某一个参数的变化，直观
地观测到系统动力学行为的变化.当系统的某个参数连续变化穿越一个临界值(分岔点)时，系统会在某个其原本稳定平衡点的外围出现一个极限环，此时系统由极限环包围的平衡点由稳定变成不稳定.
1 非对称双环神经元网络数学模型
本节讨论非对称双环神经元网络模型，其拓扑如图1所示.由图1可知，模型由2个单向连接的环组成.其中一个有3个神经元，另一个有4个神经元.神经元1是一个双环耦合节点.根据图1的拓扑关系，非对称双环神经元网络模型可表示为 (1)
其中：代表系统第i个神经元在t时刻的状态.αi>0(i=1，2，…，6)是常量，βi(i=1，2，…，6)和γi(i=1，2，…，6)表示连接权重，并且满足βi≠0和γi≠0，fi(·)(i=1，2，…，6)和gi(·)(i=1，2，…，6)表示神经元网络的激活函数，两神经元间在信息传递时的时滞用τi(i=1，2，…，6)表示.
注1 模型(1)具有非对称结构，即双环节点的个数不相等.另外，自连接项βifi(vi(t))的出现也增加了动力学的复杂性.当双环的节点个数相等，并且不考虑自连接项(βi=0)时，模型(1)退化为文献[13]中的模型.
在系统(1)中，共有6个时滞，为了简化问题的研究，假设2个环型神经元网络的时滞和相等，即：
假设1 τ=τ1+τ2+τ3=τ1+τ4+τ5+τ6. 做如下变换： 系统(1)变为 (2)
非对称双环神经网络系统的稳定性和Hopf分岔
