三次函数型
b?R且ab≠0,例(2020·浙江·9)已知a,若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立,则( ) A. a<0
B. a>0
C. b<0
D. b>0
【分析】本题的实质是考察三次函数的图象,设f(x)?(x?a)(x?b)(x?2a?b),欲满足题意,从形上看则必须在x≥0 时有两个重合的零点才可以,对a分a?0与a?0两种情况讨论,结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【解析】因为ab?0,所以a?0且b≠0,设f(x)?(x?a)(x?b)(x?2a?b),则f(x)的零点为x1?a,x2?b,x3?2a?b
当a?0时,则x2?x3,x1>0,要使f(x)?0,必有2a?b?a,且b?0,即b??a,且b?0,所以b?0;
当a?0时,则x2?x3,x1?0,要使f(x)?0,必有b?0.综上一定有b?0.故选:C 点评:①本题使用了作三次函数示意图的方法——序轴标根法,它是高次不等式的常用解法. “序轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”, 所谓序轴就是省去原点和单位,只表示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中,左边的点表示的数比右边的点表示的数小.为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点,穿过最后一个点后就不再变方向(自右往左,蛇形穿根,奇(次幂)过偶(次幂)不过),这种画法俗称“穿针引线法”.用数轴标根法解不等式的步骤:移项、求根、标根、画线、选解. ②本题要求学生功底扎实,思维层次要高, 尤其对于处理函数、不等式等题型数形结合思想数轴标根法的优势就体现出来,所谓胸有蓝“图”,一路坦途.
[强化训练]
1.若函数f(x)?2x3?ax2?1(a?R)在(0,??)内有且只有一个零点,则f(x)在[?1,1]上的最大值与最小值的和为 .
11【解析】因为f(0)?1,且由f?(x)?6x2?2ax=6x(x?a)?0得: x?0或x?a
331所以函数f(x)的图象是增-减-增型,且在x?0或x?a处取得极值
3a3a2?af()?2?()?a?()?1?0??333欲使函数在(0,??)内有且只有一个零点,当且仅当?
?a?0??3
1
解之得a?3当x???1,0?时,f(x)增;x??0,1?时,f(x)减, 故f(x)max?f(0)?1,f(x)min?min?f(1),f(?1)???4, 所以f(x)在[?1,1]上的最大值与最小值的和为?3.
2.已知函数f(x)的导函数为f?(x)?ax(x?2)(x?a)(a?0),若函数f(x)在x??2处取到极小值,则实数a的取值范围是 .???,?2???0,???
3.若函数f(x)?xx?a在区间[0,2]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
2??x(x?a),x?a【解析】 f(x)?xx?a??.
2???x(x?a),x?a22函数f(x)的一个极值点是x?0,所以以0为界与a比较,进行分类讨论.
①当a?0时,如图一,由f?(x)??3x?2ax?0得,x?0或x?22a,欲使函数3f(x)?x2x?a在区间[0,2]上单调递增,只需x?22a?2,即a?3. 3②当a?0时,如图二,f(x)?xx?a在区间[0,2]上单调递增,满足题意. 综上知,实数a的取值范围是(??,0][3,??).
a x
(图一)
4.若函数f(x)?(x?2)x?a在区间[2,4]上单调递增,则实数a的取值范围是 . 【答案】(??,2][5,??)
2y y
O a O x (图二)
2
5.设函数f(x)?ax?3x?1(x?R),若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立,则实数a
3的值为 .
【解析】若x?0,则不论a取何值,f?x??0显然成立;
当x?0 即x?(0,1]时,f(x)?ax?3x?1?0可化为,a?331?3 2xx设g?x??3?1?2x?31?1?'?gx?,则, 所以 在区间gx?????0,?上单调递增,在区423xxx?2??1???4,从而a?4; ?2?间?,1?上单调递减,因此g?x?max?g??1??2?当x?0 即x???1,0?时,f(x)?ax?3x?1?0可化为a?331?32xx
g'?x??3?1?2x??0g?x?在区间??1,0?上单调递增,因此g?x?man?g??1??4,从而x4a?4,综上a?4.
6.已知a?R,函数f(x)?xx?a,求函数y=f (x)在区间[1,2]上的最小值. 【解析】设此最小值为m.
22]上,f(x)?x?ax. ①当a?1时,在区间[1,因为:f(x)?3x2?2ax?3x(x?/32
2a)?0,x?(1,2), 3 则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..
2322f/(x)?2ax?3x2?3x(a?x).
3若a?3,在区间(1,2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1,2]上的增函数,
3
由此得:m=f(1)=a-1.若2 当1?x?22a时,f/(x)?0,从而f(x)为区间[1,]上的增函数; 33 当
三次函数型
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)