三次函数型
b?R且ab≠0，例（2020·浙江·9）已知a，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0在x≥0上恒成立，则（ ） A. a<0
B. a>0
C. b<0
D. b>0
【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设f(x)?(x?a)(x?b)(x?2a?b)，欲满足题意，从形上看则必须在x≥0 时有两个重合的零点才可以，对a分a?0与a?0两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【解析】因为ab?0，所以a?0且b≠0，设f(x)?(x?a)(x?b)(x?2a?b)，则f(x)的零点为x1?a,x2?b,x3?2a?b
当a?0时，则x2?x3，x1>0，要使f(x)?0，必有2a?b?a，且b?0，即b??a，且b?0，所以b?0；
当a?0时，则x2?x3，x1?0，要使f(x)?0，必有b?0.综上一定有b?0.故选：C 点评：①本题使用了作三次函数示意图的方法——序轴标根法，它是高次不等式的常用解法. “序轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”， 所谓序轴就是省去原点和单位，只表示数的大小的数轴.序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向（自右往左，蛇形穿根，奇（次幂）过偶（次幂）不过），这种画法俗称“穿针引线法”.用数轴标根法解不等式的步骤：移项、求根、标根、画线、选解. ②本题要求学生功底扎实,思维层次要高, 尤其对于处理函数、不等式等题型数形结合思想数轴标根法的优势就体现出来,所谓胸有蓝“图”，一路坦途.
[强化训练]
1.若函数f(x)?2x3?ax2?1(a?R)在(0,??)内有且只有一个零点，则f(x)在[?1,1]上的最大值与最小值的和为 ．
11【解析】因为f(0)?1,且由f?(x)?6x2?2ax=6x(x?a)?0得: x?0或x?a
331所以函数f(x)的图象是增-减-增型，且在x?0或x?a处取得极值
3a3a2?af()?2?()?a?()?1?0??333欲使函数在(0,??)内有且只有一个零点，当且仅当?
?a?0??3
1
解之得a?3当x???1,0?时，f(x)增；x??0,1?时，f(x)减， 故f(x)max?f(0)?1，f(x)min?min?f(1),f(?1)???4， 所以f(x)在[?1,1]上的最大值与最小值的和为?3．
2.已知函数f(x)的导函数为f?(x)?ax(x?2)(x?a)(a?0)，若函数f(x)在x??2处取到极小值，则实数a的取值范围是 ．???,?2???0,???
3.若函数f(x)?xx?a在区间[0,2]上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
2??x(x?a),x?a【解析】 f(x)?xx?a??.
2???x(x?a),x?a22函数f(x)的一个极值点是x?0，所以以0为界与a比较，进行分类讨论.
①当a?0时，如图一，由f?(x)??3x?2ax?0得，x?0或x?22a，欲使函数3f(x)?x2x?a在区间[0,2]上单调递增，只需x?22a?2，即a?3. 3②当a?0时，如图二，f(x)?xx?a在区间[0,2]上单调递增，满足题意. 综上知，实数a的取值范围是(??,0][3,??)．
a x
（图一）
4.若函数f(x)?(x?2)x?a在区间[2,4]上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】(??,2][5,??)
2y y
O a O x （图二)
2
5.设函数f(x)?ax?3x?1(x?R)，若对于任意的x???1,1?都有f(x)?0成立，则实数a
3的值为 ．
【解析】若x?0，则不论a取何值，f?x??0显然成立；
当x?0 即x?(0,1]时，f(x)?ax?3x?1?0可化为，a?331?3 2xx设g?x??3?1?2x?31?1?'?gx?，则， 所以 在区间gx?????0,?上单调递增，在区423xxx?2??1???4，从而a?4； ?2?间?,1?上单调递减，因此g?x?max?g??1??2?当x?0 即x???1,0?时，f(x)?ax?3x?1?0可化为a?331?32xx
g'?x??3?1?2x??0g?x?在区间??1,0?上单调递增，因此g?x?man?g??1??4，从而x4a?4，综上a?4.
6.已知a?R,函数f(x)?xx?a，求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值. 【解析】设此最小值为m.
22]上，f(x)?x?ax. ①当a?1时，在区间[1，因为:f(x)?3x2?2ax?3x(x?/32
2a)?0,x?(1,2), 3 则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..
②当1
2322f/(x)?2ax?3x2?3x(a?x).
3若a?3,在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，
3
由此得：m=f(1)=a-1.若2 当1?x?22a时,f/(x)?0,从而f(x)为区间[1，]上的增函数； 33 当 22?x?2时，从而f/(x)为区间[a,2]上的减函数. 33 因此，当2 7时，4(a?2)?a?1,故m?4(a?2); 3 当 7?a?3时，a?1?4(a?2),故m?a?1. 3 ?1?a,当a?1时;??0,当1?a?2时;?综上所述，所求函数的最小值m??4(a?2),当2?a?7时; 3??7?a?1,当a?时;3?2 7.已知函数f(x)?xx2?12的定义域是[0,m]，值域是[0,am]，则实数a的取值范围 是 . 【解析一】易知：当0?x?2，f(x)增；当2?x?23，f(x)减；当x?23，f(x)增，且f(2)?f(4)?16. ① 当0?m?2时，f(x)[0,m]增 ∴?m(m?12)?am，a??m?2212??4,???； m16??1,4?； 2m12??1,???；综上，a?1. m② 当2?m?4时， am2?16，a?③ 当m?4时，m(m?12)?am，a?m?22 4 【解析二】仅考虑函数f(x)在x?0时的情况， 3??12x?x，x?23，可知f(x)??函数f(x)在x?2时，取得极大值16． 3??x?12x，x≥23．令x3?12x?16，解得，x?4． 作出函数的图象（如图所示）, y 16 O 2 4 x 函数f(x)的定义域为[0,m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑：（1）当0?m?2时，函数的值域为[0，m(12?m2)]，有m(12?m2)?am2，所以a?12?m，因为0?m?2，所以a?4； m（2）当2≤m≤4时，函数的值域为[0，，因为2≤m≤4，16]，有am2?16，所以a?16m2所以1≤a≤4；（3）当m?4时，函数的值域为[0，m(m2?12)]，有m(m2?12)?am2，所以a?m?12，因为m?4，所以a?1；综上所述，实数a的取值范围是a≥1． m 5
三次函数型
