北京四中2019届上学期高中三年级期中考试数学试卷（理科）
试卷满分共计150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设函数y?x?2018的定义域为M，函数y?ex的值域为P，则MP?
A. （0，+∞） B. [2018， +∞) C. [0，+∞） D. (2018， +∞)
C. y?
2. 下列函数中，其中既是偶函数又在区间（0,1）上单调递减的函数为 A. y?cosx B. y?lgx 3. 函数y?cosxtanx(?1
D. y?x2 x
??x?)的大致图象是 22?
4. 执行如图所示的程序框图。 若输出的结果是16，则判断框内的条件是
A. n>6? B. n≥7？ 5. 函数y?Asin(?x??)(??0,|?|?
C. n>8? D. n>9?
?2,x?R)的部分图像如图所示，则函数表达式为
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A. y??4sin(C. y?4sin(?x?) 84?B. y??4sin(D. y?4sin(?x?)
84?
?x?)
84??x?)
84?6. 原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错．．．误的是 ．
A. 逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2”，为假命题
B. 否命题为：“若a+b<2，则a，b都小于1”，为假命题 C. 逆否命题为：“若a，b都小于1，则a+b<2”，为真命题 D.“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
?1,x?0?7. 设x?R，定义符合函数sgn(x)??0,x?0，则下列等式正确的是
??1,x?0?A. sinx?sgn(x)?sin|x| C. sinx?sgn(x)?sinx
B. sinx?sgn(x)?|sinx| D. sinx?sgn(x)?sinx
28. 已知函数f(x)?(x2?3)ex，设关于x的方程f(x)?mf(x)?不同的实数解，则n的所有可能的值为
A. 3
B. 1或3
C. 4或6
12?0(m?0)有n个e2D. 3或4或6
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. i为虚数单位，计算(?3?i)i?_______________。 10.
?20(x?1)dx?______________。
11. 命题“?x?(0,??)，使得lgx?0成立”的否定是____________。
12. 在极坐标系中，O为极点，点A为直线l:?sin???cos??2上一点，则OA的最小值为________________。
2?x??3,x?1,?13. 已知函数f(x)??则f(f(?3))?_________，f(x)的最小值是x?lg(x2?1),x?1,?________。
14. 对于函数f(x)，若存在一个区间A?[a,b]，使得?y|y?f(x),x?A??A，则称A为f(x)的一个稳定区间，相应的函数f(x)叫“局部稳定函数”，给出下列四个函数：
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①f(x)?tan?4x；②f(x)?1?x2；③f(x)?ex??)，所有“局1；④f(x)?ln(x1部稳定函数”的序号是_____________。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. （本小题满分13分） 已知集合A??x?R|（1）当m=3时，求A（2）若A??6??1?，B??x?R|x2?2x?m?0?。 x?1?(B）；
B??x|?1?x?4?，求实数m的值。
16. （本小题满分13分）
已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且2sin2(B?C)?3sin2A。 （I）求A的度数；
（II）若BC=7，AC=5，求△ABC的面积S。 17. （本小题满分13分）
已知函数f(x)?cosx(cosx?3sinx)。
（I）求f(x)的最小正周期； （II）当x??0,???时，求函数f(x)的单调递减区间。 ??2?18. （本小题满分13分）
2已知实数a?0，函数f(x)?ax(x?2)(x?R)。 （I）求函数f(x)的单调区间；
（II）若函数f(x)有极大值32，求实数a的值。 19. （本小题满分14分）
已知函数f(x)?e?1?3x?ax,a?R。 （I）当a?0时，证明：当x?0时，f(x)?0； （II）若当x?0时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围。 20. （本小题满分14分）
已知函数f(x)?a?x?xlna?b(a,b?R,a?1)，e是自然对数的底数。 （I）当a=e，b=4时，求函数f(x)的零点个数； （II）若b=1，求f(x)在[－1,1]上的最大值。
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参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 B 6 D 7 A 8 A
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
9. 1?3i； 10. 0 11. ?x?(0,??)，都有lgx?0成立； 12.
2； 13. 0，22?3； 14. ①②
6x?5?1，得?0，∴?1?x?5，∴A??x?1?x?5?。 x?1x?1三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 解：由
（1）当m?3时，B??x|?1?x?3?，则=?x|3?x?5?。
（2）∵A??x?1?x?5?，A2B??x|x??1或x?3?，∴A（
B）
B=?x|?1?x?4?，
∴有4?2?4?m?0，解得m?8。
此时B??x|?2?x?4?，符合题意，故实数m的值为8。 16. （本小题13分）
解：（I）∵2sin2(B?C)?3sin2A。
∴2sinA?23sinAcosA，……………………2分
∵sinA?0，∴sinA?3cosA，∴tanA?3，……………………4分 ∵0?A??，∴A?60?。…………………………6分
（II）在△ABC中，∵BC?AB?AC?2AB?AC?cos60?，BC?7,AC?5,
22∴49?AB?25?5AB,∴AB?5AB?24?0，∴AB?8或AB??32222（舍），…………10分
∴S?ABC?113AB?AC?sin60???5?8??103。……………………13分 22217. （本小题13分）
解：（I）f(x)?3sinxcosx?cos2x
31?cos2x sin2x?2231?cos2xf(x)?(sin2x?)
22?12?2?f(x)?sin(2x?)?，T????。
62|?|2f(x)的最小正周期为?。…………………………7分
??3?,k?Z时，函数f(x)单调递减， （II）当2k???2x??2k??262?2?],k?Z， 即f(x)的递减区间为：[k??,k??63??2???]?[,?],k?Z 由[0,][k??,k??26362f(x)?第4页
所以f(x)的递减区间为：[18. （本小题13分）
??,]。 ………………13分 62解：（1）∵f(x)?ax3?4ax2?4ax， ∴f'(x)?3ax2?8ax?4a?a(3x?2)(x?2)。 令f(x)?0，得x?2或x?2。 32323
当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(??,)，（2，+∞）；单调减区间是(,2)。 当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(,2)，单调减区间是(??,)，（2，+∞）。 （2）∵f(x)?ax(x?2)2(x?R)有极大值32，而f(2)?0
2
3232222时，f(x)取得极大值32，即a(?2)?32，∴a=27。 33322
当a?27时，由（1）知，f(x)在(??,)递增，在(,2)递减，符合题设。
33
∴当x?19. （本小题14分）
解：（1）f'(x)?3e3x?3?2ax，当a?0时，f'(x)?3e3x?3，（2分） 当x?0时，f'(x)?3e3x?3?0，所以y?f(x)在x?0时单调递增，
又因为f(0)?0，f(x)?f(0)?0。（6分） （2）f'(x)?3e3x?3?2ax，记g(x)?3e3x?3?2ax，g'(x)?9e3x?2a
9时，x?0时，g'(x)?9e3x?2a?0， 2∴y?g(x)在x?0时单调递增， g(x)?g(0)?0，即f'(x?)f'(，0所以y?f(x)在x?0时单调递增，f(x)?f(0)?0。(9分)
912a3x②当a?时，令g'(x)?9e?2a?0，得x0?ln，（10分）
239当x?[0,x0]时，g'(x)?g'(x0)，
①当a?∴g(x)?3e3x?3?2ax在x?[0,x0]单调递减，（11分）
3x2∴g(x)?g(0)?0，即f'(x)?f'(0)?0，f(x)?e?1?3x?ax在x?(0,x0)单
调递减，
∴f(x)?f(0)?0，与题设矛盾。(13分)
综上所述，a?9。(14分) 220. （本小题14分）
x2x解：（I）f(x)?e?x?x?4，∴f'(x)?e?2x?1，∴f'(0)?0，当x?0时，
ex?1，
x∴f'(x)?0，故f(x)是（0，+∞）上的增函数，当x?0时，e?1。
2∴f'(x)?0，故f(x)是（－∞，0）上的减函数，f(1)?e?4?0，f(2)?e?2?0。
∴存在x1?(1,2)是f(x)在（0，+∞）上的唯一零点；f(?2)?1?2?0，e2第5页
北京四中2019届上学期高中三年级期中考试数学试卷(理科)
