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10111概率论与数理统计（理工类）期末考试试卷B 参考答案
一、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，满分12分） 1、设事件A与B互不相容，且P(A)?a，则P(AB)? ； 【分析】利用§1.3有关结论
P(AB)?P(A)?1?P(A)?1?a
QAB??
?1?be?xx≥02、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??，则常数b? ；
0x?0?【分析】利用§2.4有关结论
F(x)在x?0处连续?limF(x)?F(0)?0?1?b?b??1 ?x?03、已知离散型随机变量X服从参数为
k的泊松分布，即
2?2e,k?0,1,2,L k!则随机变量Z?3X?2的数学期望E(Z)? ； 【分析】利用§4.2有关结论
X?P(?)?E(X)???2,D(X)???2
?E(Z)?E(3X?2)?E(3X)?E(?2)?3E(X)?2?3?2?2?4P{X?k}?4、任意两个随机变量的相关系数满足?XY≤ ； 【分析】利用§4.3有关结论 ?XY≤1 5、设随机变量X的数学期望为E(X)??，方差为D(X)??2，则由切比雪夫不等式，有
P{X??≥3?}≤ ；
【分析】利用§4.4有关结论
?2P{X??≥?}≤2??2?P{X??≥3?}≤(3?)2?P{X??≥3?}≤1 96、若X～N(0,1),Y～?2(n)，且X与Y相互独立，则XY～ 分布。 n【分析】利用§5.2有关结论 YX～t(n) （自由度为n的t分布）
n
二、单选题（本大题共6个小题，每小题2分，满分12分） 7、设A,B为两个随机事件，则下列结论正确的是（ ）
①若P(AB)?0，则AB??； ②若P(AUB)?1，则AUB?S； ③P(A?B)?P(A)?P(B)； ④P(AB)?P(B)?P(AB)。 【分析】利用§1.3有关结论
P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(BA)?P(B)?P(AB),选④
8、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论错误的是（ ）
①F(x)是x的定义域为R的实函数； ②对一切x?R,0?F(x)≤1； ③P{a?X≤b}?F(b)?F(a)； ④limF(x)?limF(x)?1。
x???x???【分析】利用§2.3有关结论
对一切x?R,0≤F(x)≤1，选②
.
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19、设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P{X??1}?P{Y??1}?,
32P{X?1}?P{Y?1}?,则下列各式成立的是（ ）
35①P{X?Y}?； ②P{X?Y}?1； ③P{X?Y}?0； ④X?Y。
9【分析】利用§3.2有关结论
P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}独立性11225，选① ?P{X??1}P{Y??1}?P{X?1}P{Y?1}?????3333910、设X与Y是相互独立的随机变量，则下列各式不正确的是（ ）
①E(XY)?E(X)E(Y)； ②D(X?Y)?D(X)?D(Y)；
③D(X?Y)?D(X)?D(Y)； ④?XY?cov(X,Y)?0。 【分析】利用§4.3有关结论
选③
11、若X1,X2,L,Xn为总体X的样本，且E(X)??存在。下列结果中可作为?的估计值的是（ ）
n1n1n21n2①?(xi?x)； ②?xi； ③?xi； ④?(xi?2)2。 ni?1ni?1ni?1i?1【分析】利用§6.1有关结论
选③
12、假设检验中，u检验和t检验都是关于总体均值的假设检验，当总体方差未知时，可选用（ ）
①u检验法； ②t检验法； ③F检验法； ④u检验法或t检验法。 【分析】利用§7.2有关结论
选②
三、计算题（本大题共6个小题，满分44分）
13、某射手在3次射击中至少命中目标1次的概率为89，求该射手在1次射击中命中目标的概率。（4分）
【解】利用§1.5、§2.2有关结论 8?P{三次射击中至少命中目标一次}9?P{n?3重beinoulli试验中，事件A(命中目标)至少发生1次}(P(A)?p未知)00??b(k;n,p)?1?b(0;n,p)?1?Cnp(1?p)3?0?1?(1?p)3k?13
3811133?1?(1?p)??(1?p)??1?p?3?p?1?3?1?9939914、设一批产品由三家工厂生产。已知产品的12由第一家工厂生产，其余两家各生产14，又知第一、第二两家产品的2?是次品，第三家产品的4?是次品。现从中任取一件，问：（1）取到次品的概率是多少？（2）若已知取到的是次品，它是由第一家工厂生产的概率为多少？（8分）
【解】利用§1.4有关结论
设事件
B?{取到次品};Ai?{产品是第i个工厂生产的（}i?1,2,3）
3注意到，B由A1,A2,A3“引发”，且A1,A2,A3构成一个完备事件组。 （1）取到次品的概率为
.
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全概公式P(B)?
121214101?????????0.02521004100410040040（2）若已知取到的是次品，它是由第一家工厂生产的概率为
bayes公式P(AB)P(A1)P(BA1)P(A1)P(BA1)1P(A1B)???P(B)P(B)P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)?(12)?(2100)40??0.4140100?P(A)P(BiiAi)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)
15、某种型号的电子管的寿命（以小时计）的概率密度为
1x?1?1000ex?0?f(x)??1000
?0其它?（1）任取1只电子管，求其寿命大于1000小时的概率；（2）任取3只电子管，求其中至少
有1只寿命大于1000小时的概率。（8分） 【解】利用§1.5、§2.3、§2.4有关结论
（1）P{任取1只电子管，其寿命大于1000小时}?P{Xi?1000}(设Xi为第i只电子管的寿命，i?1,2,3)?1?P{Xi≤1000}?1???1?e?1x1000100001000??100011xx1000?1?10001edx?1??e1000d(?x)010001000f(x)dx?1???e?1010000?1?(e?110001000)?1?(e?1?1)?e?1（2）P{任取3只电子管，其中至少有1只寿命大于1000小时}?P{n?3重beinoulli试验中，事件A(某只电子管寿命大于1000小时)至少发生1次}00??b(k;n,p)?1?b(0;n,p)?1?Cnp(1?p)3?0?1?(1?e?1)3k?13(p?P(A)?P{Xi?1000}?e?1)
16、已知离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表，
1 Y ?1 0 求：（1）E(X),E(Y)；（2）D(X),D(Y)； X （3）cov(X,Y)；（4）D(X?Y)。（12分） ?1 13 0 13 【解】利用§4.1、§4.2、§4.3有关结论 1 0 13 0 先分别求出关于X,Y的边缘分布 1 Y ?1 0 P{X?xi}?pig X ?1 13 0 13 23
1 0 13 0 13
1 P{Y?yj}?pgj 13 13 13
211111（1）E(X)??xipig?(?1)??1???,E(Y)??yjpgj?(?1)??0??1??0
333333ij2（2）E(X2)??x2ipig?(?1)?i2211121222?1??1,E(Y2)??y2p?(?1)??0??1?? jgj333333j1822?D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1?(?)2?,D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2??02?
3933.
概率论与数理统计(理工类)期末考试试卷B参考答案
