《激光原理》习题解答 第二章习题解答
1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.
证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是R1和R2，腔长为L，根据对称共焦腔特点可知：
R1?R2?R?L
因此，一次往返转换矩阵为
???2LL???1?2L1????R?R2?AB??2??? T?????2L?2L??2L???2L???CD????2?2?????1?R?????R???1?R????1?R????RR?2?1??1??2????1???1?把条件R1?R2?R?L带入到转换矩阵T，得到：
?AB???10? T???????CD??0?1?共轴球面腔的稳定判别式子?1?如果
1?A?D??1 21?A?D???1或者1?A?D??1，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来22定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式T，T2??2?10?? 01??坐标转换公式为：?r?r2??10??r1??r1?2?1??T???? ?????????2???1??01???1???1?其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过
两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。
112L2L2L2解答如下：共轴球面腔的?A?D??1?，如果满足?1??A?D??1，??22R1R2R1R2则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。 下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。
12L2L2L22L对于平凹共轴球面腔， ?A?D??1? (R1??) ???1?2R1R2R1R2R2所以，如果?1?1?2L?1，则是稳定腔。因为L和R2均大于零，所以不等式的后半部分R2LL?1，就能满足稳定腔的条件，因此，?1就是平凹腔的R2R2一定成立，因此，只要满足稳定条件。
类似的分析可以知道，
凸凹腔的稳定条件是：R1?0
R2?L,且R1?R2?L。
双凹腔的稳定条件是：R1?L，R2?L （第一种情况） R1?L，R2?L且R1?R2?L（第二种情况） R1?R2?R?L （对称双凹腔） 2求解完毕。
3 激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M的凸和曲率半径为2M的凹面镜构成，工作物质长度为，其折射率为，求腔长L1在什么范围内谐振腔是稳定的。
解答如下：设腔长为L1，腔的光学长度为L，已知R1??IM，R2?2M，L0?0.5M，
?1?1，?2?1.52，
12L2L2L2根据?A?D??1?，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到： ??2R1R2R1R212L2L2L2?A?D??1????1?L?L2 21M2M1M?2M因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。 即L?L1?L0?1?L0?2?L1?0.50.5?，代入上式，得到： 11.52L?0.50.5?1?A?D??1?L?L2?1?L1?0.5?0.5????1? 211.52?11.52?要达到稳定腔的条件，必须是?1?21?A?D??1，按照这个条件，得到腔的几何长度为： 21.17?L1?2.17，单位是米。
解答完毕。
5 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30CM，方形孔径边长为d=2a=，λ=，镜的反射率为r1=1，r2=，其他损耗以每程估计。此激光器能否做单模运转如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择TEM00模，小孔的边长应为多大试根据图作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式eg0l?1?3?10?4l估算，其中的l是放电管长度。 d
分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。
如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式δ00=*来确定，其中的N是菲涅尔数。 解答：根据eg0l?1?3?10?4l0
，可以知道单程增益gL=ln(1+d)= d由于反射不完全引起的损耗可以用公式或者来衡量 根据得到： δr≈=
根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为
0
δ=+ 如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数： 2此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a/(Lλ)=，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。 通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。 为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为： ?os?L???2.46?10?2cm 因此，可以在镜面上放置边长为2ω0s的光阑。 解答完毕。 6 试求出方形镜共焦腔面上TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布吗 解答如下： 方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为 ik?i?ikL?aa?mn?x,y???mn?e????mnx',y'e?L???a?a??xx'?yy'Ldx'dy' 经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数 ?2???2??????mn?x,y??CmnHm??L?x?Hn?L?y?e?????cx2?y2?L????? 22?30?x,y??C30H3???2???2??x?H0?y?e????L???L???x2?y2?L???????2??3???x?y???2???12???e?L????C30?8?xx?L?????L????????使?30?x,y??0就可以求出节线的位置。由上式得到： x1?0,x2,3??解答完毕。 32?，这些节线是等距的。 2l?7 求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。 解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式 ?mn?r,???Cmn???2r?n?2r??Lm?2?e?????0s???0s?2m?r22?0s?cosm? （这个场对应于TEMmn，两个三角??sinm?2?r22?0s函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零） 对于TEM20：?20?r,???C20??2r?2?2r???????L0??2?e?0s??0s?2?cos2? ??sin2??2r2?并且L???2???1，代入上式，得到 ?0s?20?2r???20?r,???C20????e?0s?22?r22?0s?cos2?，我们取余弦项，根据题中所要求的结??sin2?果，我们取?20?r,???C20??2r??02s?cos2??0，就能求出镜面上节线的位置。既 ???e?0s??3?cos2??0??1?,?2? 44?r2 对于TEM02，可以做类似的分析。 2?2?2r?0?2r2???02s0?2r??0s?L2?2?e?? ?02?r,???C02??CLe022??2????????0s??0s??0s?0r2r2?2r2?4r22r4L???2???1??2??4，代入上式并使光波场为零，得到 0s0s?0s?02?2r???02?r,???C02?????0s?020?4r2r???1??2??4??e0s0s??24?r22?0s?0 ?2r2?4r22r4显然，只要L???2???1??2??4?0即满足上式 0s0s?0s?最后镜面上节线圆的半径分别为： r1?1?22?0s,r2?1??0s 22解答完毕。 8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是R1=，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。 解：共轴球面腔稳定判别的公式是?1?1?A?D??1，这个公式具有普适性（教材36页2中间文字部分），对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式0?g1g2?1判断稳定性，其中gi?1?L。 Ri题中g1?1?L8L8?1?，g2?1??1? R115R210g1g2?0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。 任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦 腔，他们的行波场是相同的。 等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标Z1和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。 根据公式（激光原理）得到： Z1?L?R2?L?0.8??1?0.8????0.18M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1??L?R1?L??0.8??1.5?0.8???0.62M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1?Z2?
激光原理第二章习题解答
