对于y方向的薛定谔方程（2）′，同理有
（m是整数）
对于方向的薛定谔方程，由于，这表明粒子在方向可以自由运动，其解为平面波解，即有
是连续谱
因此
则有下列几种可能
当，时
讨论：若势阱宽度仍为a和b，但区间是由，不难证明，这时E仍如上式所示，但波函数只
有一种，为
式中 、均为整数。
10．设在附近运动的粒子受到弹性力作用，相应的势能是，已知满足对应于这个势能的薛定
谔方程的波函数是 ，
其中 ；是n级厄密多项式，当时，
；；；
（1）试由薛定谔方程计算相应于本征函数的本征能量； （2）利用公式 求 时的平均势能
（3）求时的平均动能。
[解] （1）本征能量由定态薛定谔方程决定。 （a）求：有 而
代入薛定谔方程得
（b）
故
（c）
（d）
同理可得 依此类推可得：
（2）求平均势能 （a）时，
（b），
（c），
（d）
（3）求平均动能
（a）
（b）
（c）
（d）
讨论：①通过本题可以看到，只要已知本征波函数和体系的哈密顿算符的形式，要求体系对
应于这些本征函数的本征能量，只需代入薛定谔方程通过微分运算求出。因此解薛定谔方程 求本征函数和本征能量E的困难，事实上
何求本征函数上。一旦已知本征函数，本征能量就容易求出了。
②事实上，受到弹性力作用的体系，相当于一维谐振子，本征函数就是谐振子的本征函数，这只须取就可看出。因此算出的能量自然就是谐振子的本征能量，这和我们直接运算得出的结果一致。
③计算结果表明，对于在弹性力作用的体系（一维谐振子）算出的势能平均值总是等于总能量的一半，不管处在哪个能级，都有相同的结论，即
这从物理上看显然是非常合理的。
11．粒子在势能
的捧力场中运动，求能量，的情况下，粒子的能量和状态。
[解] 径向方程为
当时，方程简化为
在处，波函数为，则有
令 ，则
方程变为
即有 其中 在处，令，则有
其中 解上面两个方程得
，故
边界条件：
当时，为有限，故 于是 当时，为有限，故 于是 连接条件：
当时， 于是
，故
解上面两式消去和得
故得
此外，再注意到
从上面两式用图解法求出和，从而确定粒子的能量。
由
及波函数的归一化条件可以确定和，从而粒子状态的波函数
就可以确定。
12．粒子在半径为a，高为d的圆筒中运动，在筒的势能为零，在筒壁和筒外势能为无限大，
求证：
（1）粒子的波函数是
其中是柱面坐标，为m阶贝塞尔函数的第个根。
（2）粒子的能量是
[解] 筒外势能为无限大，故
粒子在筒运动的薛定谔方程用圆柱坐标表示为：
用分离变量法，设 代入上式，可以得到
则有 上面第一式的解为
，其中
利用边界条件：
当时， 当时， 因而
再令
代入上面的第二式，可再分离变量得
波函数和薛定谔方程-力学量算符
