波函数和薛定谔方程-力学量算符
1．一维运动的粒子处在
的状态，其中，求：
（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。
[解] 首先将归一化，求归一化系数A。
（1）动量的几率分布函数是
注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有
令 代入上式得
（2）
动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论：
①一维的傅里叶变换的系数是而不是。
②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。
2．设在时，粒子的状态为
求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。
[解] 方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照
求平均值。
在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取
，而，粒子动量的平均值为
A可由归一化条件确定
故
粒子动能的平均值为
。
方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有
而
则有 及 。
讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量
几率分布的概念来求归一化系数。
②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。
3．一维谐振子处在
的状态，求：
（1）势能的平均值 ； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解] 先检验是否归一化。
是归一化的。
（1）
.
其中应用 及
（2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数
波函数和薛定谔方程-力学量算符
