第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准
一、参考解答：
解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
x2y2??1 a2b2 （1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
a3T2 3?2 （2） y
aeTe设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
P c?a?r0 （3）
abOrP S ?P P0xb?a2?c2 （4） 由图1可知，P点的坐标
图1
x?c?rcos? PP （5） y?rPsin?P （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得
?a根据求根公式可得
22 sin2?P?b2cos2?P?rP?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0 （7）
b2?a?ccos?P? （8） rP?2222asin?P?bcos?P由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
rP?0.896AU (9) 可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=?Gmms (10) 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms?mvP????? （11） ?2r2a?P?1 / 21
得
vP?Gms?代入有关数据得
21? （12） rPa4?1 vP=4.39?10m?s (13) 设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律
rPvPsin????P??2? （14）
其中?为面积速度，并有
yP ??πab （15） TabOrP S 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
?P ?P0x??127 （16）
图2 解法二
取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为?，取逆时针为正向，用r、?表示彗星的椭圆轨道方程为
r?p （1）
1?ecos?其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知
p?a?1?e2? （2）
将（2）式代入（1）式可得
a1?e2r? （3）
1?ecos?以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
??a3T2?2 （4） 3aeTe在近日点??0，由（3）式可得
e?1?r0a （5）
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将?P、a、e的数据代入（3）式即得
rP?0.895AU （6）
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 E=?Gmms (7) 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms? （8） mvP??????2rP?2a?可得
vP?Gms?代入有关数据得
21? （9） rPa4?1 vP=4.39?10m?s (10) 设P点速度方向与极轴的夹角为?，彗星在近日点的速度为v0，再根据角动量守恒定律，有
rPvPsin????P??r0v0 （11）
根据（8）式，同理可得
v0?Gms?由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据
??127 (13) 评分标准：
本题20分 解法一
（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．
解法二
（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．
3 / 21
21? （12） r0a
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