x2y2
1．(2024·衡水质检)对于实数m，“1 m－1m－2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C x2y2 解析 若方程＋＝1表示双曲线， m－1m－2则(m－1)(m－2)<0，得1 x2y2 则“1 m－1m－2x22 2．(2024·北京)已知双曲线2－y＝1(a>0)的离心率是5，则a等于( ) a1 A.6 B．4 C．2 D. 2答案 D x22 解析 由双曲线方程2－y＝1，得b2＝1， a∴c2＝a2＋1. ∴5＝e2＝2 c2a＋11＝2＝1＋2. 2aaa 1 结合a>0，解得a＝. 2 x2y2 3．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( ) abA．x±y＝0 B．x±3y＝0 C.3x±y＝0 答案 C x2y2 解析 ∵双曲线的方程是2－2＝1(a>0，b>0)， abb ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x. a D．2x±y＝0 c 又∵离心率e＝＝2， a∴c＝2a，∴b＝c2－a2＝3a. 3a x＝±3x， a 由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±即3x±y＝0.故选C. x2y2π4．(2024·西南大学附中月考)已知双曲线2－＝1(0 a23线的离心率为( ) 2326 A. B. C.3 D．2 33答案 D 2解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±x， aπ 由两条渐近线夹角为，0 3π 可知其中一条渐近线的倾斜角为， 3∴ 26 ＝3，∴a＝，c＝a3 26a2＋b2＝， 3 263c ∴e＝＝＝2. a6 3 x2y2 5．(2024·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若 45OP＝OF，则△OPF的面积为( ) 3579A. B. C. D. 2222答案 B x2y2 解析 由F是双曲线－＝1的一个焦点， 45知OF＝3，所以OP＝OF＝3. 不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0， 22??x0＋y0＝3， 则?x2y2 00 －＝1，??45 ? 解得?25 y＝?9， 20 56x2，0＝9 所以P? 2145? ， ?3，3? 1155 所以S△OPF＝OF·y0＝×3×＝. 2232 5x2y2 6．已知离心率为的双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲 2ab线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( ) A．32 B．16 C．84 D．4 答案 B b 解析 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知F2M＝ a以OM＝ bca2＋b2 ＝b，所 1c5 c2－b2＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以 2a2 a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B. x2y2 7．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一 94条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为( ) x22 A.－y＝1 4 B．x2－y2 ＝1 4 y22x2 2C.－x＝1 D．y－＝1 44答案 AD x2y2 解析 在椭圆＋＝1中，c＝ 94 9－4＝5. x2y2 因为双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距， 94且一条渐近线方程为x－2y＝0， x22 所以可设双曲线方程为－y＝λ(λ≠0)， 4x2y2 化为标准方程为－＝1. 4λλ当λ>0时，c＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1， x22 则双曲线C的方程为－y＝1； 4当λ<0时，c＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1， x2 则双曲线C的方程为y－＝1. 4 2 x22x2 2 综上，双曲线C的方程为－y＝1或y－＝1， 44故选AD. 8．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则( ) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．点P的横坐标为±1 D．△PF1F2的面积为2 答案 ACD 解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝22， 所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 22??x0＋y0＝2， 所以由?解得|x0|＝1， ??y0＝x0， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 1 由上述分析可得△PF1F2的面积为×22×1＝2，故D正确． 2故选ACD. x2y2 9．(2024·华中师大附中月考)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐 ab近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________． 答案 2 b 解析 由题意知＝1， a∴e＝b?21＋??a?＝2. x2y2 10．(2024·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条 ab 渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且PF1－PF2＝3，则双曲线C的焦距为________． 答案 35 x2y2b 解析 双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x， abab 一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2， a即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝PF1－PF2＝3， 3 可得a＝，b＝3， 2即有c＝ a2＋b2＝ 935＋9＝， 42 即焦距为2c＝35. x2y2 11.如图，F1和F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以 abOF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 答案 3＋1 解析 设F1F2＝2c，连接AF1， ∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径， ∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°， ∴AF1＝c，AF2＝3c， c22a＝3c－c，e＝＝＝3＋1. a3－1 x2y2 12.(2024·临川一中模拟)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦 ab—→—→ 点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得PiA1·PiA2＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．
2024新高考数学(江苏专用)一轮复习课时精练：8.7 双曲线
