第十六讲：圆周运动
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一、圆周运动的运动学参数 [知识梳理]
描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表. 物理量 线速度 物理意义 描述物体做圆周运动的____ 定义和公式 物体沿圆周通过的弧长与所用时间的比值，v＝________运动物体与圆心连角速度 描述物体与圆心连线扫过角度的________ 线扫过的角的弧度数与所用时间的比值，ω＝________ 周期T：物体沿圆周周期 描述物体做圆周运动的运动一周所用的时间． 转速n：物体单位时间内转过的圈数 方向：总是沿半径指向心 描述线速度方向变化的加速度 ____ 2π①v＝rω＝Tr＝2πrf v24π2r2②an＝r＝rω＝ωv＝T2＝4π2f2r an＝________ 向圆心，与线速度方向垂直． 单位：m/s2 相互 关系 周期单位：s 转速单位：r/s或r/min 单位：rad/s 方向和单位 方向：沿圆弧切线方向． 单位：m/s 和转速 ____ 思考：线速度和角速度的物理意义有什么不同？
二、向心力 [基础导引]
分析图1中物体A、B、C的受力情况，说明这些物体做圆周运动时向心力的来源，并写出动力学方程．
图1
[知识梳理]
1．作用效果：产生向心加速度，只改变速度的________，不改变速度的________．
v24π2r
2．大小：F＝mr＝________＝mT2＝mωv＝4π2mf2r
3．方向：总是沿半径方向指向________，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的______提供，还可以由一个力的
________提供．
思考：向心力是按效果还是按性质命名的力？可以在受力分析时加一个向心力吗？
三、圆周运动、向心运动和离心运动 [知识梳理]
1．匀速圆周运动与非匀速圆周运动
两种运动具体比较见下表. 项目 定义 运动 特点 向心力 2．离心运动
(1)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着________________飞出去的倾向． (2)受力特点(如图3所示)
①当F＝________时，物体做匀速圆周运动； ②当F＝0时，物体沿__________飞出；
③当F<________时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向 心力．
④当F>mrω2时，物体逐渐向______靠近，做________运动． 思考：1.物体做离心运动是因为受到离心力的缘故吗？ 2．物体做离心运动时是沿半径方向远离圆心吗？
图3
匀速圆周运动
线速度的大小______的圆周运动
动
化，ω发生变化
F向＝F合
由F合沿半径方向的分力提供
非匀速圆周运动
线速度的大小________的圆周运
F向、a向、v均大小不变，方向变化，F向、a向、v大小和方向均发生变ω不变
考点一 圆周运动中的运动学问题分析 考点解读
1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比． 当ω一定时，v与r成正比． 当v一定时，ω与r成反比．
v2
2．对a＝r＝ω2r＝ωv的理解
在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比． 典例剖析
例1 如图4所示装置中，A、B、C三个轮的半径分别为r、2r、 4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度比、角速度之比、加速度之比． 方法突破
图4 1．高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；
(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)．
2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2)皮带
传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等． 跟踪训练1 某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图5所
示．链轮和飞轮的齿数如下表所示，前、后轮直径均为660 mm，人骑该车行进的速度为4 m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运 动的角速度最小值约为 ( )
名称 齿数N/个
48
链轮 38
28
15
16
飞轮 18
21
24
28 图5
之
A.1.9 rad/s B．3.8 rad/s C．6.5 rad/s D．7.1 rad/s 考点二 圆周运动中的动力学问题分析 考点解读 1．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，该力就是向心力． 2．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力． 典例剖析
例2 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图6所示，长为L的 钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转 盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动
图6
时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计 钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系． 方法突破 解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象；
(2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
考点三 平抛运动与圆周运动问题综合分析
6.忽视圆周运动的周期性
例3 如图9所示，半径为R的圆盘匀速转动，在距半径高度h处以平行 OB方向水平抛出一小球，抛出瞬间小球的初速度与OB方向平行，为 使小球和圆盘只碰撞一次且落点为B，求： (1)小球的初速度大小； (2)圆盘转动的角速度．
图9
2hg，误区警示 本题的常见错误是认为圆盘转动一周时，小球恰好落在B点，即t1＝ 2π
t2＝T，故得ω＝T＝2π
g2h.忽视了圆周运动的周期性，即t1这段时间内，只要B点转
动2π的整数倍角度，小球都可以与B点相碰．
正确解析 (1)设小球在空中的飞行时间为t1，初速度为v0，圆盘的角速度为ω，小球平
R2hg抛时间t1＝ .小球水平方向分运动v0t1＝R，可得v0＝＝R t1g2h. 2π
(2)当OB再次与v0平行时，圆盘运动时间t2＝nT(n＝1,2,3,4，…)，T＝ω，依题意t1＝t2,
2h2nπ2g＝，解得ω＝nπ ωgh(n＝1,2,3,4，…)．
g2g答案 (1)R (2)nπ 2hh(n＝1,2,3,4，…) 正本清源 1.多解原因：因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这将造成多解.
2.多解问题模型：常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动.,由于涉及两个物体的运动是同时进行的，因此求解的基本思路是依据等时性建立等式求出待求量.
跟踪训练3 如图10所示，直径为d的纸筒以角速度ω绕垂直于纸面的O轴匀速转动(图示为截面)．从枪口射出的子弹沿直 径穿过圆筒，在圆周上留下a、b两个弹孔．已知aO与bO的夹角为θ，求子弹的速度．
图10
7．不能建立匀速圆周运动的模型
例4 质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋，如图11所 示，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时 空气对飞机的作用力大小为 ( )
v2
A．mR B．mg
v2v222
C．m g＋R4 D．m g－R4 误区警示 本题错误的原因：一是不能正确建立飞机运动的模型 (实质上是圆锥摆模型)，错误地认为飞机沿倾斜面圆轨道做匀速圆
2＝m 周运动，受力情况示意图如图甲所示，得出F＝(mg)2－Fn
v42
g－R2，错选D；二是对飞机受力情况分析错误，错误地认为空
图11
气对飞机的作用力就是向心力而错选A.
正确解析 飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受
v2
到重力和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力Fn＝mR.飞机受力情况示意图如图乙所示，根据勾股定理得：F＝(mg)2＋F2n
4v＝m g2＋R2. 答案 C
甲
乙
正本清源 正确建立匀速圆周运动模型，确定其运动平面与圆心位置，找出物体的受力，是解题关键.
参考答案 例1 见解析
而vb∶vc∶vd＝1∶2∶4，所以va∶vb∶vc∶vd＝2∶1∶2∶4；ωa∶ωb＝2∶1，解析 va＝vc，
所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd＝2∶1∶1∶1；再利用a＝vω，可得aa∶ab∶ac∶ad而ωb＝ωc＝ωd，＝4∶1∶2∶4.
跟踪训练1 B [因为自行车行进的速度与前、后轮边缘的线速度相等，所以后轮边缘的线
v4
速度为4 m/s，后轮的角速度ω＝R＝－ rad/s≈12 rad/s；又因飞轮与后轮为同轴装
330×103置，所以飞轮的角速度ω1＝ω＝12 rad/s.又飞轮与链轮是用链条连接的，所以链轮与飞轮的线速度相同，即ω1r1＝ω2r2(式中r1、r2分别为飞轮和链轮的半径)．因轮周长L＝NΔL＝2πr(式中N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长)，所以r∝N，故ω1N1＝ω2N2.又踏板与链轮
N1共轴，所以脚踩踏板的角速度ω3＝ω2＝Nω1，欲使ω3最小，则须N1＝15，N2＝48，故ω3
2
15
＝48×12 rad/s＝3.75 rad/s≈3.8 rad/s.故选B.]
gtan θ
例2 ω＝
r＋Lsin θ
跟踪训练2 AC
例3 (1)1.99 m (2)ω＝5nπ rad/s(n＝1,2,3，…) (3)不正确，0.8 m
ωd
(n＝0,1,2，…) 跟踪训练3
(2n＋1)π－θ跟踪训练4 C
16圆周运动的规律 - 图文
