2020年复旦大学自主招生
数学试题
1.抛物线y2=2px, 过焦点F作直线交抛物线于A、B两点, 满足AF=3FB, 过A作抛物线准线的垂线, 垂足记为A?, O为顶点, 若SOFAA?=123, 求p.
1'.抛物线y2=2px,过焦点F作直线交抛物线于A,B两点, 满足AF=3FB, 过A作抛物线准线的垂线, 垂足记为A?, 准线交x轴于C点, 若SCFAA?=123, 求p. 2.已知实数xy, 满足x2+2xy=1, 求x2+y2最小值.
?1?3.已知f(x)=asin(2πx)+bcos(2πx)+csin(4πx)+dcos(4πx), 若f?+x?+f(x)=f(2x), 则
?2?在a,b,c,d中能确定的参数是________.
4.若三次方程x3+ax2+4x+5=0有一个根是纯虚数, 则a=________. ?11?5.展开式?x2++y3+?中, 常数项为________.
xy??101?1++6. lim?n→?1?42?5?+1?=________.
n(n+3)??7.点(4,5)绕点(1,1)顺时针旋转60度, 所得的点的坐标为________. 8.方程5?cos?=4?+3?cos2?所表示的曲线形状是________. ?π9. 设x,y???,?4?33π??π??x+cos?x+??2a=0,则cos(x+2y)=. ,若?2??4???4y3+sinycosy+a=0?10. 实数x,y满足x2+y2=1,若x+2y?a+a+6?x?2y的值与x,y无关,则a的范围是. 111. 在△ABC中,cos?BAC=,若O为内心,且满足AO=xAB+yAC,则x+y的最大值为.
312. 已知直线m:y=xcos?和n:3x+y=c, 则( ) A.m和n可能重合 B. m和n不可能垂直
C. 存在直线m上一点P,以P为中心旋转后与m重合
1
D. 以上都不对
13. 抛物线3y2=x的焦点为F,A在抛物线上,A点处的切线与AF夹角为30°,则A点的横坐标为.
14. 已知P为直线为.
15. 已知x,y??1,2,3,4,5,6,7,8,9?且y?x,联结原点O和A(x,y),B(y,x)两点,则1?AOB=2arctan的概率为.
3xy?6=0上一点,且P点到A(2,5)和B(4,3)的距离相同,则P点坐标
?1416. arcsin14+323+arcsin=. 8417. 已知三棱锥P-ABC的体积为10.5, 且AB=6,AC=BC=4,AP=BP=10,则CP长度为. 18. 在△ABC中,AB=9,BC=6,CA=7,则BC边上中线长度为. 19. 若f(x)=x2?1,则f(f(x))的图像大致为.
1,x?M??,M?N=?x|fM(x)fN(x)=?1?, 已知A=x|x?2?x20. 定义fM(x)=????1,x?M??,
B=?x|x(x+3)(x?3)?0?, 则A?B=.
21. 方程3x+4y+12z=2020的非负整数解的组数为.
22. 已知m,n?,且0?n?11,若满足22020+32021=12m+n,则n=. 23. 凸四边形ABCD,则?BAC=?BDC是?DAC=?DBC的条件.
24. 设函数f(x)=3x?3?x的反函数为y=f?1(x),则g(x)=f?1(x?1)+1在??3,5?上的最大值和最小值的和为.
25. 若k?4,直线kx?2y?2k+8=0与2x+k2y?4k2?4=0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是.
2
PABDC
26. 已知A、B、C、D四点共圆,且AB=1,CD=2,AD=4,BC=5,则PA的长度为.
27. 给定5个函数,其中3个奇函数,2个偶函数,则在这5个函数中任意取3个,其中既有奇函数、又有偶函数的概率为. 28. 下列不等式恒成立的是( ) A. x2+111 B. ?x+x?y+?2 C. x?y?x?z+y?z
x2xx?y29. 向量数列an??3?n?满足an+1=an+d,且满足a1=3,a1?d=?,令Sn=a1???ai?,则当Sn取
2?i=1?最大时,n的值为.
30. 某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务,每人负责一天.已知甲不安排在第一天,乙不安排在第二天,甲和丙在相邻两天,则不同的安排方式有种.
31. 直线l1,l2交于O点,M为平面上任意一点,若p,q分别为M点到直线l1,l2的距离,则称
(p,q)为点M的距离坐标.已知非负常数p,q,下列三个命题正确的个数是.
(1) 若p=q=0,则距离坐标为(0,0)的点有且仅有1个;
(2) 若pq=0,且p+q?0,则距离坐标为(p,q)的点有且仅有2个; (3) 若pq?0,则距离坐标为(p,q)的点有且仅有4个.
3
4
2020年复旦大学自主招生数学试题(含答案)
