都是“定义域”惹的祸
函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．
一、求函数解析式时
例1．已知f(x?1)?x?2x，求函数f(x)的解析式 . 错解：令t?x?1，则x?t?1，x?(t?1)2，
x?1得t?1，
?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1，?f(x)?x2?1
剖析：因为f(x?1)?x?2x隐含着定义域是x?0，所以由t?这样才能保证转化的等价性.
正解：由f(x?1)?x?2x，令t?二、求函数最值（或值域）时
22例2．若3x?2y?6x,求x?y的最大值．
22?f(t)?t2?1的定义域为t?1，即函数f(x)的解析式应为f(x)?x2?1（x?1）
x?1得t?1，?x??t?1?代入原解析式得
22f(t)?t2?1（t?1），即f(x)?x?1（x?1）．
32x?3x ①，代入x2?y2得 211992x2?y2??x2?3x???x?3??，∴当x?3时，x2?y2的最大值为．
2222错解：由已知有 y??2剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件
3x2?2y2?6x中x的限制条件．
322正解：由y??x?3x?0得0?x?2，
21192?x2?y2??x2?3x???x?3??，x??0,2?，因函数图象的对称轴为x?3，∴当
222x??0,2?是函数是增函数，故当当x?2时，x2?y2的最大值为4．
例3．已知函数f?x??2?log3x?1?x?9?，则函数y???f?x????fxA．33 B．22 C．13 D．6
2 ??的最大值为（ ）
2??=?2?logx??2?logx=?logx?3?增函数，故函数y???f?x????f?x?在x?9时取得最大值为33．
错解：y???f?x????fx222222333?3在?1?x?9?上是
2?1?x?9正解：由已知所求函数y???f?x????f?x?的定义域是?1?x2?9得1?x?3，
?2222y???f?x????f?x?=?2?log3x??2?log3x=?log3x?3??3在1?x?3是增函数，故函数
22222y???f?x????f?x?在x?3时取得最大值为13．
?2?x?4?，求y??f?1?x??2?f?1?x2?的最大值和最小值．
?1x?2错解：由f?x??3?2?x?4?得1?y?9．∴f?x??2?log3x?1?x?9?．
例4．已知f?x??3x?2第 1 页 共 3 页
∴y?f?x??2?f?1?x2???2?log3x?2?2?log3x2?log32x?6log3x?6 2??log3x?3??3． ∵1?x?9，∴0?log3x?2．∴ymax?22，ymin?6．
?12?12剖析：∵f?x?中1?x?9，则f?x?中1?x?9，即1?x?3，∴本题的定义域应为?1,3?．
?1?∴0?log3x?1．
正解：（前面同上）y??log3x?3??3，由1?x?3得0?log3x?1．
2∴ymax?13，ymin?6．
例5．求函数y?4x?5?错解：令t?22x?3的值域．
2x?3，则2x?t2?3，∴y?2t2?3?5?t?2t2?t?1
??77?7??1??2?t????．故所求函数的值域是?,???．
88?8??4?2 剖析：经换元后，应有t?0，而函数y?2t?t?1在?0,???上是增函数，随着t增大而无穷增大．所以当t?0时，ymin?1．故所求函数的值域是?1,???．
三、求反函数时
例6．求函数y??x?4x?2错解：函数y??x?4x?2222(0?x?2) 的反函数．
2(0?x?2)的值域为y??2,6?,
又y??(x?2)?6，即 (x?2)?6?y?x?2??6?y，?所求的反函数为
y?2?6?x?2?x?6?．
剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．
2正解：由y??x?4x?2(0?x?2)的值域为y??2,6?, 因(x?2)?6?y，又
2x?2?0?x?2??6?y，?所求的反函数为y?2?6?x?2?x?6?．
四、求函数单调区间时
例7．求函数f(x)?lg(4?x)的单调递增区间.
错解：令t?4?x，则y?lgt，它是增函数. ?t?4?x在(??,0]上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数f(x)?lg(4?x)在(??,0]上为增函数，即原函数的单调增区间是(??,0].
剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．
正解：由4?x?0，得f(x)的定义域为(?2,2).?t?4?x在(?2,0]上为增函数，由可复合函数的单调性可确定函数f(x)?lg(4?x)的单调增区间是(?2,0].
2例8．求y?log0.7x?3x?2的单调区间．
2222222??22错解：令t?x?3x?2，y?log0.7t，x????,?时，t?x?3x?2为减函数，
2??3???3?x??,???时，t?x2?3x?2为增函数，又y?log0.7t为减函数，故以复合函数单调性知原函
?2?3???3?数增区间为???,?，减区间为?,???．
2???2?剖析：在定义域内取x?1，y值不存在，显然上面所求不对，根本原因正是疏忽了定义域，单
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调区间必须在函数定义域内．由x?3x?2?0，得x?1或x?2，故增区间为???,1?，减区间
2为?2,???．
例9．指出函数y?x?2lnx的单调增区间． 错解：∵
2y?x2?2lnx，∴y??2x?y?x2?2lnx的单调增区间为???,?1?,?1,???．
五、判断函数的奇偶性时 例10．判断f?x???1?x?2，∴当y??0时，x?1或x??1，∴函数x剖析：此题错在没有考虑函数的定义域?0,???，故本题的答案为?1,???．
1?x的奇偶性． 1?x1?x错解：∵f??x???1?x??1?x?1?x?2?1?x???1?x?1?x1?x?f?x?， ∴f?x?为偶函1?x数．
剖析：事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对称区间．而此函数的定义域为??1,1?，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数．
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高中数学 都是“定义域”惹的祸论文
