初一数学竞赛模拟试题
一、选择题
1．已知a?199919992000200020012001b、c的大小关系是( ) ，，，则a、b?c?200020002001200120022002abcA．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 2．如图直线a，b被直线c所截，共得12个角，则图中内错角角有 ( )
A．5 对 B．6对 C．11对 D．12对 有一组公共解，则公共解为（ ）
3．已知对于任意有理数a,b，关于x,y的二元一次方程(a?b)x?(a?b)y?a?b都
x?0?x?0 C?x??1 D?x?1 A．? B．．?．????y?0?y??1?y?0?y?14．已知一个直角∠AOB以O为端点在∠AOB的内部画10条射线，以OA、OB以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个． A．110
B．132
C．66
D．65
5．30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130， 若数n=20·则不是n的因数的最小质数是（ ）．
A．19
B．17
C．13
D．非上述答案
6．方程x2－y2=105的正整数解有( )．
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组
二、填空题
b?cc?a中有 个是负数． 7．3个有理数a、b、c两两不等，则a?b，，b?cc?aa?b8．a、b是整数，且满足a?b?ab?2，则ab= ．
9．一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的
是_________．
10．设x、y、z是整数数位上的不同数字．那么算式
x?xyxxx
? ? ? 所能得到的尽可能大的三位数的和数是
1
11．甲、乙同在一百米起跑线处，甲留在原地未动，乙则以每秒7米的速度跑向百米终点，5秒后甲听到乙的叫声，看到乙跌倒在地，已知声音的传播速度是每秒340米，这时乙已经跑了_____．米（精确到个位）
12．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，则abcde的最小值是
三、解答题
13．x，y是满足条件2x?3y?a的整数（a是整数），证明必存在一整数b，使x，y能表示为x??a?3b，y?a?2b的形式．
14．一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数．
15．某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1．4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远．
2
答案
一、选择题
1．由于a?19991999?1999?1001?1999?1?1
200020002000?100120002000200020002000?100120001 b????1?200120012001?100120012001200120012001?100120011 c????1?200220022002?100120022002111，所以a
3．原方程整理成a(x?y?1)?b(?x?y?1)?0，对于a,b的每一组值，上述方程都有
?x?y?1?0 ?x?0
公共解，∴ ?解得?∴选B
??x?y?1?0?y??14．10条射线连同OA,OB共有12条射线，在直角?AOB中，每两条射线组成一个角，共形成1(12?11)?66,这66个角中，只有?AOB?90°，其余65个均为锐角， 2∴选D． 5．B 6．D
二、填空题
a?bb?cc?a=1
７．因为??b?cc?aa?ba?bb?cc?a中必有一个是正数，不妨设a?b 所以，，?0 b?cc?aa?bb?c 有两种情况：①a>b>c ②a b?cc?a均为负数；②当a ①当a>b>c时，，，c?aa?ba?bb?cc?a中恰有两个是负数。 所以，，b?cc?aa?bc?aa?b8．∵a、b是整数，所以a?b与ab为非负整数，由a?b?ab?2得： 3 a?b?0，ab?2 ① 或a?b?1，ab?1 ② 或a?b?2，ab?0 ③ 2，另一个为 ±1，此时a?b是奇数若①，由ab?2，只能a、b中有一个为 ±与a?b?0矛盾，故①不成立． 1，此时a?b是偶数与a?b?1矛盾，故若②，由ab?1，只能a、b同为± ②也不成立．因此只能是③，此时ab?0，有ab=0 9．27 10．由于和数是三位数，则x不可能取9，否则和数会是四位数，因此x的最大值是8，为了得到最大和，y应当取9，这样，题设的算式就变成 88898 ?8 9 9 4 所以所能得到的尽可能大的三位数的和数是994 11．设乙跑了x米，则在x秒时乙发出叫声，声音传到甲处用了1x秒，两段时间 7340 535x???34xx117?5， 之和等于5，所以?米 ?1?7340734034012．要abcde最小，必须abcd也最小，且被4整除，所以abcd是1000．补上末位数字e变为五位数，又要是9的倍数，所以这个五位数数字和应是9的倍数，则补上末位数字e是8，所以abcde的最小值是10008． 三、解答题 13．∵2x+3y=a ∴x?a?3ya?y??y， 22∵ x，y是整数． 4 a?y也是整数． 2a?3y令b?，则y?a?2b． 2a?3ya?3(a?2b)??3b?a， 这时，x?222x?3y?2(3b?a)?3(a?2b)?6b?2a?3a?6b?a ∴ 这说明整数b能使x=-a+3b，y=a－2b满足方程2x+3y=a． 14．设此自然数为x，依题意可得 2??x?45?m ① (m，n为自然数) ?2??x?44?n ②②－①可得n2?m2?89， n2?x?44?m2?45?44?m2， ∴n>m (n?m)(n?m)?89 但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是n?m?1，n?m?89． 解之，得n=45．代入(2)得x?452?44?1981．故所求的自然数是1981． 15．甲划船的全部时间为2小时45分钟，他每划行30分钟，休息15分钟，周期为45分钟，所以甲一共可分为4个30分钟划行时间段，中间有3个15分钟休息．如果甲开始向下游划，那么他只能用1个30分钟的时间段向下游划，否则将无法返回，这时他离开码头的距离为：(3?1.4)?0.5?1.4?0.25?2.55（千米）． 而返回用3个30分钟的时间段所走的距离为 (3?1.4)?1.5?1.4?0.5?1.7（千米） 由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时他将无法返回出发地．如果甲 开始向上游划，那么他可以用3个时间段向上游划，这时他最远离开码头的距离为 (3?1.4)?1.5?1.4?0.5?1.7（千米） 并用最后一个时间段，完全可以返回码头． 5
初一数学竞赛模拟试题（含答案）
