线性代数
大学-----行列式经典例题
例1计算元素为aij = | i－j|的n阶行列式.
解 方法1 由题设知，a11=0，a12?1，
,a1n?n?1,，故
Dn?0110n?1n?20ri?ri?1i?n,n?1,,2?011?111n?1?1?1
n?1n?2n?1cj?cnj?1,,n?1n?20?20n?1?1?(?1)n?12n?2(n?1)0?
其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．
00?1方法2 Dn?0110n?1n?20ri?ri?1i?1,2,,n?1??1?11?1110
n?1n?2?1cj?c1n?1n?20?200n?1
=(?1)n?1
j?2,,n??12n?2(n?1)n?12n?3例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明:
的充要条件是a + b + c =0.
证明: 考察范德蒙行列式:
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=
行列式 即为y2前的系数. 于是
=
所以 的充要条件是a + b + c = 0.
例3计算Dn=
x0an?1x0?100x?a1
an?1an?2解： 方法1 递推法 按第1列展开，有
?1x?1Dn= x Dn?1+（－1）
n?1
an x?1x?1n?1= x Dn?1+ an
由于D1= x + a1，D2?an?1x + an=
= x
n?1xa2?1x?a1n?2，于是Dn= x Dn?1+ an=x（x Dn?2+an?1）+ an=xDn?2+
2D1+ a2x
nn?1+?+ an?1x + an=x?a1x??an?1x?an
倍分别加到第1列上
方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，?，第n列的x
2n?1Dn?
c1?xc20x20?1x00?1x000x?a1
an?xan?1an?1an?2内部资料 个人复习资料
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c1?x2c300x3an?xan?1?x2an?2?1x00?1x00?1an?3000x?a1
?
an?1an?20=
=
?1x?1?1x按rn展开?1x?1(?1)n?1f?xx?1n?1=
fxn?a1xn?1??an?1x?an
方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
1c2?c1x1c3?c2xDn?x000x0anxn?100xan?1an?2xx000
1cn?cn?1xan按cn展开an?1? kn= x
an?2?(
kn? x
n?1an?1ana2+ +++a1+x) ?n?2n?1xxx=an?an?1x??a1xn?1?xn
方法4 Dn按rn展开?(?1)n?1an?10x?1000000+
x?1x?10x000000(?1)n?2an?1
x00?100x?10x00n?10000+?+(?1)2n?1a2
x?100000xan+（－1）
n?20?12n+(?1)(a1?x)
=（－1）
n?1
（－1）（－1）
n?2 an?1x
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