B
D
1
O
x C
A
教 学 过 程
§ 6 极限存在准则·两个重要极限
极限存在准则·两个重要极限
1. 夹逼准则
准则 I 如果数列 {xn } 、 {yn} 及 {zn} 满足下列条件
(1)yn xn zn(n 1 2 3 (2)
n
)
lim yn a
lim zn a
n
lim xn a
那么数列 {xn } 的极限存在 且
证明 因为 lim yn a lim zn a 以根据数列极限的定义
n
n0 N 1 0 当 n N 1 时
n
有
|y n a|
同时成立
同时成立
即
又 N 2 0 当 n N 2 时 有|zn a| 现取 N max{N 1 N 2} 则当 n N 时 有
|y n a| |zn a|
即
a yn a a zn a
又因 yn xn zn 所以当 n N 时 有
a yn x n z n a
|x n a|
lim xn a
这就证明了 n
简要证明 由条件 (2) 0 N 0 当 n N 时，有
|y n a| 及|zn a|
即有 a yn a a z n a 由条件 (1) 有
a y n x n z n a
即 |x n a| 这就证明了 lim xn a
n
准则 I
如果函数 f(x) 、g(x)及 h(x)满足下列条件 (1) g(x) f(x) h(x)
(2) lim g(x) A lim h(x) A 那么 lim f(x) 存在 且 lim f(x) A
第一重要极限：
lim
sin x
1
x 0
x
sin x
证明
首先注意到 函数
x
对于一切 x 0 都有定义 参看附图 图中的圆为单位圆
BC OA DA OA 圆心角 AOB x (0 x ) 显然 sin x CB x AB tan x AD 因为
2
S AOB S 扇形 AOB
S AOD
所以
1
2
即
不等号各边都除以 sin x
sin x x tan x
sin x x tan x
21 1
2
就有
1
x 1 sin x cosx cos x sin x 1
x lim cos x 1
或
注意此不等式当
2
lim
sin x
x
1
x 0 时也成立
而 x 0 根据准则 I
0 x
简要证明 参看附图 设圆心角 AOB x ( 显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x
cos x sin x
1
2 )
从而
x
lim cos x 1
(此不等式当 x 0 时也成立 )
因为 x 0 根据准则 I
应注意的问题
lim sin x
x 0
1
x
x 0
B
D
lim sin
(x) (x)
1
O
x C
A
在 极 限
中
只 要
(x) 是 无 穷 小
就 有
lim sin (x)
( x)
1
lim sin这是因为 令 u
lim
sin x
1
lim
sin(x) 则 u
0 于是
(x) (x)
lim
u 0
sin u
u
1
(x) 1 (x)
x 0 x
( (x) 0)
2. 单调有界收敛准则 准则 II 单调有界数列必有极限
如果数列 {x n} 满足条件
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
就称数列 {x n} 是单调增加的 如果数列 {x n} 满足条件
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
就称数列 {x n} 是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列
如果数列 {x n} 满足条件 x n x n 1 n N 在第三节中曾证明 收敛的数列一定有界 但那时也曾指出 有界的数列不一定
收敛 现在准则 II 表明 如果数列不仅有界 并且是单调的 那么这数列的极限必定 存在 也就是这数列一定收敛
准则 II 的几何解释
单调增加数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点 A 而对有界数列只可能后者情况发生
根据准则 II 可以证明极限 n
1n
x
(1 )
lim (1 1 )n
n
存在
设 n n 现证明数列 {xn} 是单调有界的 按牛顿二项公式 有
x
n
(1
1
n
)
n
(1 )(1 ) 1 1 (1 1)
2! n 3! n n 1 1
1
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1
2
n3 1! n 2! n 3!
n(n 1)
112x
n 1
1 (1 1 ) (1 1 )(1 2 )
2! n 1 3! n 1 n 1
1 (1 )(1 ) (1 n 1)
n! n n n
112
(n n
n!
1) 1 n n
(1 1 )(1 2 ) n! n 1 n 1
1
(1 n 1)
n 1
1 (1 1 )(1 2 )
(n 1)! n 1 n 1 (1 n )
n 1
比较 x n x n 1 的展开式 可以看出除前两项外 x n 的每一项都小于 x n 1 的对应项 并且 x n 1 还多了最后一项 其值大于 0 因此
x n 1 x n
这就是说数列 {xn} 是单调有界的
因为 xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数 1 代替 这个数列同时还是有界的
得
1 1
1
xn 1 1
2! 3!
n! 1 1
1 1
2 2 2
1
2
n 1
1
1 1 2n
1
1 3 21 2
n 1
3
第二重要极限： 根据准则 II
lim (1
n
数列 {xn} 必有极限 这个极限我们用 e 来表示 即
1
n
)n e
lim (1
1
x
我们还可以证明 x
)
e
u
指数函数 y
e 是个无理数 它的值是
e 2 718281828459045
e x 以及对数函数 y ln x 中的底 e 就是这个常数
x
1
1 (x)
在极限 lim[ 1
1
( x)]
(x)
中 只要 (x)是无穷小 就有
lim[ 1
(x)]
(x)
e
u
这是因为 1
lim (1 )x e
x
令
1 (x)
1
lim (1
u
1
u
)
e
则 u
于是 lim[ 1
(x)]
x
例 3 求 x 解 令 t
1lim (1 ) x
x
lim[1 (x)]
(x)
e (
(x)
0)
x 则 x 时 t 于是
1 (1
t
lim (1 ) x
1x
lim (1 )
t
1
t
t
lim
1
t
1)t e
x
或
lim (1 1 )x lim (1 )
x
1
x( 1)
[ lim (1 ) x] 1 e 1
x
1
x
x
x x
课后作业
（是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。 ）
第 60 页第 1 题
课后小结
（课后小结是教案执行情况的经验总结，目的在于改进和调整教案，为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程，特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。 ）
第 6 次课
学科 课题 周次
高等数学（一） 无穷小的比较
时数
2
授课班级
8 1202114
主要教学内容： 无穷小的比较
教学目的和要求：
掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：
用等价无穷小求极限 教学难点：
用等价无穷小求极限
教学方法与手段： 课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具 ：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§ 7 无穷小的比较
无穷小的比较
1．定义：
lim
0
（1）如果 （2）如果 （3）如果
lim
（4）如果
lim lim lim
，就说
是比 高阶的无穷小，记作 低阶的无穷小，
( ) ；
k
，就说 是比
c
0
，就说 是比 同阶的无穷小，
c
0,k 0
，就说 是关于 的 阶的无穷小，
k
1
（5）如果 ，就说 与 是等价的无穷小，记作
例 1.证明：当 定理 1
x
0
n
时，
1
x ~ x
n
1
~
与
是等价无穷小的充分必要条件为
( )
例 2. 因为当 x
0 时， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arcsin x ~ x ，
1 cos x ~ 1 x2
2 ，
(完整word版)高等数学教案.docx
