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(完整word版)高等数学教案.docx

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B

D

1

O

x C

A

教 学 过 程

§ 6 极限存在准则·两个重要极限

极限存在准则·两个重要极限

1. 夹逼准则

准则 I 如果数列 {xn } 、 {yn} 及 {zn} 满足下列条件

(1)yn xn zn(n 1 2 3 (2)

n

)

lim yn a

lim zn a

n

lim xn a

那么数列 {xn } 的极限存在 且

证明 因为 lim yn a lim zn a 以根据数列极限的定义

n

n0 N 1 0 当 n N 1 时

n

|y n a|

同时成立

同时成立

又 N 2 0 当 n N 2 时 有|zn a| 现取 N max{N 1 N 2} 则当 n N 时 有

|y n a| |zn a|

a yn a a zn a

又因 yn xn zn 所以当 n N 时 有

a yn x n z n a

|x n a|

lim xn a

这就证明了 n

简要证明 由条件 (2) 0 N 0 当 n N 时,有

|y n a| 及|zn a|

即有 a yn a a z n a 由条件 (1) 有

a y n x n z n a

即 |x n a| 这就证明了 lim xn a

n

准则 I

如果函数 f(x) 、g(x)及 h(x)满足下列条件 (1) g(x) f(x) h(x)

(2) lim g(x) A lim h(x) A 那么 lim f(x) 存在 且 lim f(x) A

第一重要极限:

lim

sin x

1

x 0

x

sin x

证明

首先注意到 函数

x

对于一切 x 0 都有定义 参看附图 图中的圆为单位圆

BC OA DA OA 圆心角 AOB x (0 x ) 显然 sin x CB x AB tan x AD 因为

2

S AOB S 扇形 AOB

S AOD

所以

1

2

不等号各边都除以 sin x

sin x x tan x

sin x x tan x

21 1

2

就有

1

x 1 sin x cosx cos x sin x 1

x lim cos x 1

注意此不等式当

2

lim

sin x

x

1

x 0 时也成立

而 x 0 根据准则 I

0 x

简要证明 参看附图 设圆心角 AOB x ( 显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x

cos x sin x

1

2 )

从而

x

lim cos x 1

(此不等式当 x 0 时也成立 )

因为 x 0 根据准则 I

应注意的问题

lim sin x

x 0

1

x

x 0

B

D

lim sin

(x) (x)

1

O

x C

A

在 极 限

只 要

(x) 是 无 穷 小

就 有

lim sin (x)

( x)

1

lim sin这是因为 令 u

lim

sin x

1

lim

sin(x) 则 u

0 于是

(x) (x)

lim

u 0

sin u

u

1

(x) 1 (x)

x 0 x

( (x) 0)

2. 单调有界收敛准则 准则 II 单调有界数列必有极限

如果数列 {x n} 满足条件

x 1 x 2 x 3 x n x n 1

就称数列 {x n} 是单调增加的 如果数列 {x n} 满足条件

x 1 x 2 x 3 x n x n 1

就称数列 {x n} 是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列

如果数列 {x n} 满足条件 x n x n 1 n N 在第三节中曾证明 收敛的数列一定有界 但那时也曾指出 有界的数列不一定

收敛 现在准则 II 表明 如果数列不仅有界 并且是单调的 那么这数列的极限必定 存在 也就是这数列一定收敛

准则 II 的几何解释

单调增加数列的点只可能向右一个方向移动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点 A 而对有界数列只可能后者情况发生

根据准则 II 可以证明极限 n

1n

x

(1 )

lim (1 1 )n

n

存在

设 n n 现证明数列 {xn} 是单调有界的 按牛顿二项公式 有

x

n

(1

1

n

)

n

(1 )(1 ) 1 1 (1 1)

2! n 3! n n 1 1

1

1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1

2

n3 1! n 2! n 3!

n(n 1)

112x

n 1

1 (1 1 ) (1 1 )(1 2 )

2! n 1 3! n 1 n 1

1 (1 )(1 ) (1 n 1)

n! n n n

112

(n n

n!

1) 1 n n

(1 1 )(1 2 ) n! n 1 n 1

1

(1 n 1)

n 1

1 (1 1 )(1 2 )

(n 1)! n 1 n 1 (1 n )

n 1

比较 x n x n 1 的展开式 可以看出除前两项外 x n 的每一项都小于 x n 1 的对应项 并且 x n 1 还多了最后一项 其值大于 0 因此

x n 1 x n

这就是说数列 {xn} 是单调有界的

因为 xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数 1 代替 这个数列同时还是有界的

1 1

1

xn 1 1

2! 3!

n! 1 1

1 1

2 2 2

1

2

n 1

1

1 1 2n

1

1 3 21 2

n 1

3

第二重要极限: 根据准则 II

lim (1

n

数列 {xn} 必有极限 这个极限我们用 e 来表示 即

1

n

)n e

lim (1

1

x

我们还可以证明 x

)

e

u

指数函数 y

e 是个无理数 它的值是

e 2 718281828459045

e x 以及对数函数 y ln x 中的底 e 就是这个常数

x

1

1 (x)

在极限 lim[ 1

1

( x)]

(x)

中 只要 (x)是无穷小 就有

lim[ 1

(x)]

(x)

e

u

这是因为 1

lim (1 )x e

x

1 (x)

1

lim (1

u

1

u

)

e

则 u

于是 lim[ 1

(x)]

x

例 3 求 x 解 令 t

1lim (1 ) x

x

lim[1 (x)]

(x)

e (

(x)

0)

x 则 x 时 t 于是

1 (1

t

lim (1 ) x

1x

lim (1 )

t

1

t

t

lim

1

t

1)t e

x

lim (1 1 )x lim (1 )

x

1

x( 1)

[ lim (1 ) x] 1 e 1

x

1

x

x

x x

课后作业

(是指根据教学目的及要求布置一定量的思考题和习题等。 )

第 60 页第 1 题

课后小结

(课后小结是教案执行情况的经验总结,目的在于改进和调整教案,为下一轮课讲授设计更加良好的教学方案。应全面审视教学过程,特别注意对意外发现、点滴收获、以及因个别疏漏而及时补充的方法等方面的内容进行撰写。 )

第 6 次课

学科 课题 周次

高等数学(一) 无穷小的比较

时数

2

授课班级

8 1202114

主要教学内容: 无穷小的比较

教学目的和要求:

掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 教学重点:

用等价无穷小求极限 教学难点:

用等价无穷小求极限

教学方法与手段: 课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具 :传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教 学 过 程

§ 7 无穷小的比较

无穷小的比较

1.定义:

lim

0

(1)如果 (2)如果 (3)如果

lim

(4)如果

lim lim lim

,就说

是比 高阶的无穷小,记作 低阶的无穷小,

( ) ;

k

,就说 是比

c

0

,就说 是比 同阶的无穷小,

c

0,k 0

,就说 是关于 的 阶的无穷小,

k

1

(5)如果 ,就说 与 是等价的无穷小,记作

例 1.证明:当 定理 1

x

0

n

时,

1

x ~ x

n

1

~

是等价无穷小的充分必要条件为

( )

例 2. 因为当 x

0 时, sin x ~ x , tan x ~ x , arcsin x ~ x ,

1 cos x ~ 1 x2

2 ,

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