高等数学教案
第 1 次课
学科 课题 周次
高等数学（一）
函 数
时数
2
授课班级
5 1202414
主要教学内容：
1、集合与区间 2、函数概念
3、函数的几种特性 4、反函数
5、复合函数·初等函数
教学目的和要求：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关
系式。
2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。 3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性， 了解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理） ，并会应用这些性质。
教学重点：
1、函数的概念 2、函数的特性 3、复合函数
教学难点：
1、函数的概念 2、函数的特性 教学方法与手段： 课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合
使用实验仪器及教具 ：传统教学用具与多媒体
教学内容及教学过程
教 学 过 程
§ 1 函数
一、 集合与区间
1. 集合概念
集合 ( 称集 ) : 集合是指具有某种特定性 的事物的 体 . 用 A, B, C? .等表示 . 元素 : 成集合的事物称 集合的元素 . a 是集合 M 的元素表示 a M. 集合的表示 : 列 法 : 把集合的全体元素一一列 出来. 例如 A { a, b, c, d, e, f, g}. 描述法 : 若集合 M 是由元素具有某种性 P 的元素 x 的全体所 成 ,M 可表示
A { a1, a2, , an}, M { x | x 具有性 P }.
例如 M {( x, y)| x, y 数 , x2 y2 1}.
几个数集 : N 表示所有自然数构成的集合 , 称 自然数集 . N {0, 1, 2, , n, }. N {1, 2, , n, }. R 表示所有 数构成的集合 , 称 数集 . Z 表示所有整数构成的集合 , 称 整数集 . Z { , n, , 2, 1, 0, 1, 2, Q 表示所有有理数构成的集合
Q { | p Z , q N 且 p与 q互 }
q
子集 : 若 x A, 必有 x B, 称 A 是 B 的子集 ,A B( 作 A 包含于 B)或 B 如果集合 A 与集合 B 互 子集 , A B 且 B A, 称集合 A 与集合 B 相等 , 作 A 若 A
B 且 A B, 称 A 是 B 的真子集 , 作 A B . 例如 , N
Z Q
p
, n, }.
, 称 有理数集 .
A . B.
R .
定空集是任何集合的子集 . 不含任何元素的集合称 空集 , 作 .
2. 集合的运算 A、B 是两个集合 , 由所有属于 A 或者属于 B 的元素 成的集合称
作 A B, 即 A B { x|x A 或 x B}.
A、B 是两个集合 , 由所有既属于
作 A B, 即
A 与 B 的并集 ( 称并 ),
A 又属于 B 的元素 成的集合称 A 与 B 的交集 ( 称交 ),
A B { x|x A 且 x B}.
A、B 是两个集合 , 由所有属于 A 而不属于 B 的元素 成的集合称
作 A B, 即
A B { x|x A 且 x B}.
如果我 研究某个 限定在一个大的集合 集合运算的法 : A、 B、C 任意三个集合 ,
A 与 B 的差集 ( 称差 ),
I 中 行 ,
所研究的其他集合 A 都是 I 的子集 . 此
, 我 称集合 I 全集或基本集 . 称 I\\AA 的余集或 集 , 作 AC.
(1)交 律 A B B A, A B B A; (2) 合律 ( A B) C A (B C), (A B) C A (B C); (3)分配律 ( A B) C (A C) (B C), (A B) C (A C)
B)C AC BC, (A B)C AC BC. (4) 偶律 ( A
(A B)C AC BC 的 明 : x (A B)C
(B C);
x A C 且 x BC x AC BC, 所以 (A B)C AC BC. x A B x A 且 x B 直 (笛卡儿乘 ): A、B 是任意两个集合 , 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素 y, 成
一个有序 (x, y), 把 的有序 作 新元素 , 它 全体 成的集合称 集合 A 与集合 B 的直 ,
记为 A B, 即
A B {( x, y)|x A 且 y B}.
例如 , R R {( x, y)| x R 且 y R } 即为 xOy 面上全体点的集合 3. 区间和邻域有限区间 :
设 a (a, b) { x|a 类似地有 [a, b] {x | a x b } 称为闭区间 , [a, b) {x | a x 其中 a 和 b 称为区间 (a, b)、 [a, b]、 [a, b)、 (a, b] 的端点 , b a 称为区间的长度 无限区间 : [a, ) { x | a x }, ( 区间在数轴上的表示 : , b] { x | x < b } , ( , ) { x | | x | < }. . , R R 常记作 R2. 设 邻域 : 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域 , 记作 U(a). 是一正数 , 则称开区间 ( a , a )为点 a 的 邻域 , 记作 U (a, ), 即 U(a, ) { x | a < x < a } { x | | x a|< }. 其中点 a 称为邻域的中心 , 称为邻域的半径 . 去心邻域 U (a, ): U (a, ) { x |0<| x a |< } 二、 函数概念 1. 函数概念 定义 设数集 D R , 则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数 , 通常简记为 y f(x), x D, 其中 x 称为自变量 , y 称为因变量 , D 称为定义域 , 记作 D f, 即 D f D . 应注意的问题 : 记号 f 和 f(x)的含义是有区别的 , 前者表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应法则 , 而后者表示 与自变量 x 对应的函数值 . 但为了叙述方便 , 习惯上常用记号“ f(x), x D”或“ y=f(x), x D ”来表 示定义在 D 上的函数 , 这时应理解为由它所确定的函数 f . 函数符号 : 函数 y f(x)中表示对应关系的记号 时函数就记作 y (x), y F(x). 函数的两要素 : 函数是从实数集到实数集的映射 法则 f . 如果两个函数的定义域相同 同的 . f 也可改用其它字母 , 例如“ F ” , “ ”等 . 此 , 其值域总在 R 内 , 因此构成函数的要素是定义域 , 对应法则也相同 , 那么这两个函数就是相同的 D f 及对应 , 否则就是不 函数的定义域 : 函数的定义域通常按以下两种情形来确定 量的实际意义确定 . 求定义域举例 : 求函数 y : 一种是对有实际背景的函数 , 根据实际背景中变 1 x 4 的定义域 . x 必须 x 0, 且 x2 4 0. 要使函数有意义 , 解不等式得 | x | 2. 所以函数的定义域为 D { x | | x | 2}, 或 D ( , 2] [2, 2 ]). 单值函数与多值函数 : x D , 对应的函数值 y 总是唯一的 , 这样定义的函数称为单值函数 . 在函数的定义中，对每个 如果给定一个对应法则 , 按这个法则 , 对每个 x D , 总有确定的 y 值与之对应 , 但这个 y 不总是唯 x2 y2 r 2 一的 , 我们称这种法则确定了一个多值函数 . 例如 , 设变量 x 和 y 之间的对应法则由方程 222给出 . 显然 , 对每个 x [ r , r]，由方程 x y r ,可确定出对应的 y 值, 当 x r 或 x r 时 , 对应 y 0 一个值 ; 当 x 取 ( r, r)内任一个值时 , 对应的 y 有两个值 . 所以这方程确定了一个多值函数 . 对于多值函数 , 往往只要附加一些条件 为多值函数的单值分支 . 例如 , 在由方程 , 就可以将它化为单值函数 x2 y2 r 2 给出的对应法则中 , , 这样得到的单值函数称 附加“ y 0”的条件 , 即以 “ x2 y2 r2 且 y 0”作为对应法则 , 就可得到一个单值分支 即以“ x2 y2 r 2 且 y 0”作为对应法则 , y y1 ( x) r 2 x2 ; 附加“ y 0”的条件 , r 2 x2 . 就可得到另一个单值分支 y y2 (x) : 表格法、图形法、解析法 (公式法 ), 这在中学里大家已经熟悉 . 其 表示函数的主要方法有三种 中 , 用图形法表示函数是基于函数图形的概念 , 即坐标平面上的点集 { P(x, y)|y f(x), x D} 称为函数 y f( x), x D 的图形 . 图中的 Rf 表示函数 y 函数的例子 : x x 0 . x x 0 称为绝对值函数 . 其定义域为 D ( , 1 x 0 例 . 函数 y | x| f( x)的值域 . ), 值域为 R f [0, ). 例 . 函数 y sgn x 0 x 0 . 1 x 0 称为符号函数 . 其定义域为 D ( , ), 值域为 R f { 1, 0, 1}. 例 设 x 为任上实数 . 不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分 , 记作 [ x ]. 函数 y [ x ] 称为取整函数 . 其定义域为 D ( , ), 值域为 R f Z . 5 [ 2 ] 1 , [ ] 3, [ 1] 1, [ 3. 5] 4. [ ] 0 , 7 分段函数 : 在自变量的不同变化范围中 , 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 2 x 0 x 1 例。 函数 y . 1 x x 1 这是一个分段函数 , 当 0 x 1 时, y 例如 f ( 其定义域为 D [0, 1] (0, 2 x ; 当 x>1 时 , y 1 x. 2 ; f (1) 2 1 ) [0, ). 1 2 ) 2 1 2 2 ; f(3) 1 3 4. 三、 函数的几种特性 (1) 函数的有界性 设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 X D. 如果存在数 K1, 使对任一 x X, 有 f(x) K 1, 则称函数 f(x) 在 X 上有上界 , 而称 K 1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界 . 图形特点是 y f(x)的图形在直线 y K1 的下 方 . , 使对任一 x X, 有 f(x) K , 则称函数 f(x) 在 X 上有下界 , 而称 K 为函数 f(x) 如果存在数 K 2 2 2 在 X 上的一个下界 . 图形特点是 , 函数 y f(x) 的图形在直线 y K2 的上方 . 如果存在正数 M, 使对任一 x X, 有| f(x) | M, 则称函数 f(x)在 X 上有界 ; 如果这样的 M 不存 在 , 则称函数 f(x)在 X 上无界 . 图形特点是 , 函数 y f(x)的图形在直线 y M 和 y M 的之间 . 函数 f(x)无界 , 就是说对任何 例如 (1)f(x) sin x 在 ( , M, 总存在 x1 X, 使 | f(x) | > M. )上是有界的 : |sin x| 1. (2)函数 f (x) 1 在开区间 (0, 1)内是无上界的 . 或者说它在 (0, 1)内有下界 , 无上界 . x 这是因为 , 对于任一 M>1, 总有 x1: 0 x1 1 1 , 使 M 1 M , x1 所以函数无上界 . f ( x1) 函数 f ( x) 1 在 (1, 2)内是有界的 . x (2)函数的单调性 设函数 y f(x)的定义域为 D, 区间 I D. 如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x2, 当 x1 有 f( x )< f(x ), 1 2 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的 . 如果对于区间 I 上任意两点 x 及 x , 当 x 2 1 2 1 f( x1)> f(x2), 则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的 . 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例 : 2 函数 y x 在区间 ( , 0]上是单调增加的 , 在区间 [0, 是单调的 . (3)函数的奇偶性 设函数 f( x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 x f( x) f(x), 则称 f(x)为偶函数 . 如果对于任一 x D, 有 f( x) f( x), 则称 f(x)为奇函数 . )上是单调减少的 , 在（ , ）上不 D, 则 x D). 如果对于任一 x D , 有 偶函数的图形关于 y 轴对称 , 奇函数的图形关于原点对称 奇偶函数举例 : , y x2, y cos x 都是偶函数 . y x3, y sin x 都是奇函数 , y sin x cos x 是非奇非偶函数 . (4)函数的周期性 设函数 f( x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 l , 使得对于任一 x D 有 (x l ) D , 且 f(x l) f(x) 则称 f(x)为周期函数 , l 称为 f( x)的周期 . 周期函数的图形特点 状 . : 在函数的定义域内 , 每个长度为 l 的区间上 , 函数的图形有相同的形 四、 反函数 定义 : 11: f(D ) D , 称此映射 f 为函数 f 的反函数 . 设函数 f : D f(D )是单射 , 则它存在逆映射 f 按此定义 , 对每个 y f(D), 有唯一的 x D, 使得 f( x) y, 于是有 f 1 (y) x. 1 的对应法则是完全由函数 这就是说 , 反函数 f f 的对应法则所确定的 . 1 (x), x f(D ). 一般地 , y f(x), x D 的反函数记成 y f 若 f 是定义在 D 上的单调函数 , 则 f : D f(D)是单射 , 于是 f 的反函数 f 1 必定存在 , 而且容易证明 f 1 也是 f(D)上的单调函数 . 相对于反函数 y f 1(x)来说 , 原来的函数 y f(x)称为直接函数 . 把函数 y f(x)和它的反函数 1 y x 是对称的 . 这是因为如果 P( a, b)是 y f (x)的图形画在同一坐标平面上 , 这两个图形关于直线 1 (b), 故 Q(b, a)是 y f 1(x)图形上的点 ; 反 y f( x)图形上的点 , 则有 b f(a). 按反函数的定义 , 有 a f 之 , 若 Q(b, a)是 y f 1(x)图形上的点 , 则 P(a, b)是 y f(x)图形上的点 . 而 P(a, b)与 Q(b, a)是关于直
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