第一课时 二维形式的柯西不等式
[基础达标]
1.设a＝(－2，1，2)，|b|＝6，则a·b的最小值为 A.18 C.－18
B.6 D.12
解析 ∵|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18，∴－18≤a·b≤18，
a·b的最小值为－18，故选C.
答案 C
2.已知x＋y＝1，那么2x＋3y的最小值是 5
A. 6
6
B. 5
C.
25
36
D.36 25
2
2
11622222222
解析 2x＋3y＝[(2x)＋(3y)][(3)＋(2)]×≥(6x＋6y)＝(x＋y)＝
5556
. 5
32
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立.
55答案 B
3.函数y＝x－5＋26－x的最大值是 A.3
B.5
C.3
D.5 6－x≤
1＋2×
2
2
解析 根据柯西不等式，知y＝1×（x－5）＋（6－x）＝5，
2
2
x－5＋2×
26
当且仅当6－x＝2x－5，即x＝时，等号成立.
5答案 B
4.设a，b，m，n∈R，且a＋b＝5，ma＋nb＝5，则m＋n的最小值为________. 解析 根据柯西不等式(ma＋nb)≤(a＋b)(m＋n)，得25≤5(m＋n)，m＋n≥5，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
m2＋n2的最小值为5.
答案
5
5.设a、b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.
2－a2－b证明 根据柯西不等式，有
a2b2
?a＋b?
[(2－a)＋(2－b)]·???2－a2－b?
??a?2?b?2?
＝[(2－a)＋(2－b)]???＋???
??2－a??2－b??
2
2
22
?2－a·a＋2－b·b?2≥??
2－a2－b??
＝(a＋b)＝4， ∴
4
＋≥＝2， 2－a2－b（2－a）＋（2－b）
2
a2b2
当且仅当2－a·
b2－b＝2－b·
， 2－aa即a＝b＝1时等号成立. ∴原不等式成立.
[能力提升]
111
1.已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值
2ab是
A.3 C.5 答案 C
2.已知2x＋y＝1，则2x＋y的最大值是 A.2 C.3
2
2
2
B.4 D.6
2
B.2 D.3
解析 2x＋y≤（2＋1）（2x＋y）＝3，故选C. 答案 C
3.已知p，q∈R＋，且p＋q＝2，则p＋q的最大值为 A.2 1
C. 2答案 A
4.设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝ab＋cd，Q＝am＋nc·间的大小关系为
A.P＜Q
B.P≤Q
B.8 D.4
3
3
bd＋，则P、QmnC.P＞Q 答案 B
D.P≥Q
5.如果实数m，n，x，y满足m＋n＝a，x＋y＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为
A.
2222
a＋b2
D. B.ab
C.
a2＋b2
2
a2＋b2
2
解析 由柯西不等式，得(mx＋ny)≤(m＋n)(x＋y)＝ab，当m＝n＝时，mx＋ny＝ab.
答案 B
22222
a2
，x＝y＝
b2
6.已知a、b、c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是 A.(a＋b＋c)≥3 111
C.＋＋≤23
2
B.a＋b＋c≥2 1
D.a＋b＋c≤ 3abc222
abc答案 A
7.函数y＝3x－5＋46－x的最大值为________. 解析 ∵y＝(3x－5＋46－x) ≤(3＋4)[(x－5)＋(6－x)] ＝25(x－5＋6－x)＝25， 当且仅当36－x＝4x－5，
134
即x＝时等号成立.∴函数y的最大值为5.
25答案 5
8.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________.
解析 根据二维形式的柯西不等式的代数形式知 (a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)，
可得(am＋bn)(bm＋an)＝(am＋bn)(an＋bm)≥(am·an＋bn·bm)＝mn(a＋b)＝2×1＝2，当且仅当＝
答案 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ambn，即m＝n＝2时，取得最小值2.
anbm9.函数y＝x－4＋25－5x的最大值为________. 解析 ∵y＝x－4＋25－5x， ∴y＝1×x－4＋5×5－x ≤（1＋5）（x－4＋5－x）＝6
?当且仅当5－x＝5·x－4，即x＝25时等号成立?. ??6??
答案
6
10.已知a，b∈R＋，且a＋b＝1. 求证：(ax＋by)≤ax＋by.
证明 设m＝(ax，by)，n＝(a，b)， 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m|·|n|
＝（ax）＋（by）·（a）＋（b） ＝ax＋by·a＋b＝ax＋by， ∴(ax＋by)≤ax＋by.
11.已知关于x的不等式|x＋a| 解析 (1)由|x＋a| ??－b－a＝2，则?解得a＝－3，b＝1. ?b－a＝4，? 2 2 2 22222 2 2 2 2 2 2 (2)－3t＋12＋t＝34－t＋t ≤[（3）＋1][（4－t）＋（t）] ＝24－t＋t＝4， 当且仅当 4－tt＝，即t＝1时等号成立， 13 2 2 2 2 故(－3t＋12＋t)max＝4. 3 12.已知α、β∈(0，π)，且cos α＋cos β－cos(α＋β)＝，试求α、β的值. 2解析 已知等式可化为 3 sin β·sin α＋(1－cos β)cos α＝－cos β.① 2 将①式平方得 ?3－cos β?＝[sin β·sin α＋(1－cos β)cos α]2 ?2??? ≤[sinβ＋(1－cos β)](sinα＋cosα) ＝2(1－cos β)， 2 2 2 2 2 ?3?∴?－cos β?－2(1－cos β)≤0. ?2? 1?1?∴?cos β－?≤0，∴cos β＝. 2?2? ππ ∵β∈(0，π)，∴β＝，代入已知得α＝. 33π ∴α＝β＝. 3 2 2
2020学年高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式第一课时二维形式的柯西不等式练习新人教A版选修4_5
