热力学与统计物理
一． 填空题（共40分） 1．N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（ Nr ）。系统的状态可以用（ 2Nr ）维Г空间中的一个代表点表示。 2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Ω，则每一微观状态出现的概率为（ 1/? ），系统的熵为 （ kln ? ）。 3．玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理 ）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 ≤ fs ≤ 1。 4．玻色系统和费米系统在满足（ 经典极限条件(或e - α <<1) 或e α >>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。 5．dU??ald?l???ldalll给出内能变化的两个原因，其中（ （ ?ad???da ）项描述传热，llllll ）项描述做功。 6．对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（ 升高 ）；如果温度足够低，则会发生（ 玻色——爱因斯坦凝聚 ）。这时系统的能量U0＝（0），压强p0＝（0），熵S0＝（0）。 7．已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为??1222(px?py?pz)?ax2?bx2m，粒子的平均能量为（2kT－b2/4a ）。 8．当温度（ 很低 ）或粒子数密度（ 很大 ）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。 9．如果系统的分布函数为ρs，系统在量子态s的能量为Es，用ρ（ s和Es表示：系统的平均能量为（ E???Esss ），能量涨落为??(Esss22（如写成E?(E)也得分）。 ?E)2）10．与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数ρs具有特点（ dρs / dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分 ），同时ρs也满足归一化条件。 二．计算证明题（每题10分，共60分） 1．假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0，ω，2ω， 3ω，。。。， 而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问： （1）与总能量3ω相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？ （2）根据公式??al??N!??al计算每种分布的微观态数?； ?al!ll（3）确定各种分布的概率。 解：能级： ε1， ε2， ε3， ε4，… 能量值： 0， ω， 2ω，3ω，… 简并度： 1， 1， 1， 1，… 分布数： a1, a2, a3, a4, … 分布?al?要满足的条件为：?alll?N?6 ?E?3? ?a?ll满足上述条件的分布有：A：?al???5,0,0,1,0,...? B：?al???4,1,1,0,0,...? C：?al???3,3,0,0,0,...? 6!?1?6;5!?1!6!各分布对应的微观态数为：?B??1?30; 4!?1!?1!6!?C??1?203!?3!?A?所有分布总的微观态数为：???A??B??C?6?30?20?56 pA??A/??6/56?0.107;各分布对应的概率为：pB??B/??30/56?0.536; pC??C/??20/56?0.357;2．表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。 （1）求单粒子的配分函数Z1； （2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x＋dx， y到y＋dy内，动量在px到px＋dpx， py到py＋dpy内的分子数dN； （3）写出分子按速度的分布； （4）写出分子按速率的分布。 解：（1）单粒子的配分函数z1?1h2????e?2?m(px2?py2)dxdydpxdpy?A(2?mkT) 2h （2）dN?e?(????)dxdydpxdpyh2N???dxdydpxdpy?e Z1h2??N( （3）将（1）代入（2），并对dxdy积分，得分子按速度的分布为dNvm?m)e2kT(vx2?vy2)dvxdvy 2?kT?mv22kT （4）有（3）可得分子按速率的分布为：2?N(m)e2?kT?mv22kTvdv?N(m)ekTvdv 0大于零且为外参量3．定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级ε1＝－ε0，ε2＝ε0，其中εy的函数。求： （1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点； （2）系统的内能和热容量； （3）极端高温和极端低温时系统的熵。 解：（1）单粒子的配分函数为：Z1????l??0???0???1???2 e?e?e?e?e?lNe???1e??0?N??0; 处于基态的粒子数为：N1????0Z1e?eN???2e???0e?N??0; 处于激发态的粒子数为：N2?Z1e?e???0N2eekT温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：???0 N1e??0ekT???0??0极端高温时：ε0《kT，N2?1, 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同； N1N2?0, 即粒子几乎全部处于基态。 N1极端低温时：ε0》kT，?lnZ1?e???0?e??0??0???0（2）系统的内能：U??N ??Nln(e?e)?N?0???0??0????e?eN?02?U1?U)V??2()V? 热容量：CV?(?TkT??kT2N?e???0?e??02?)? ?1?(???0??0e?e??（3）极端高温时系统的熵：S?kln??kln2?Nkln2 极端低温时系统的熵：S=0 4．对弱简并的非相对论费米气体，求： （1）粒子数分布的零级近似f0 与一级修正项Δf1； （2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于e解：费米气体分布函数为：f?（1）f?e???????。 1e?????1 1?e?????(1?e?????)?e??????e?2??2?? ?????1?e??????2??2?? ?f0?e，?f1??e （2）D(?)d??CV?d? 121212?N ?N ??fD(?)d???eCV??fD(?)d??e???CV??2??2??1d?d??e?? 0???U?U??f?D(?)d??e? ?f?D(?)d?1?05．金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n， （1）简述：T＝0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势μ0的意义； （2）证明：T＝0K时电子的平均能量?0??035，简并压强p0?2n?0； 5（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。 f T=0K 1 （1）μ0表示T＝0K时电子的最能量。电子从ε＝0的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。 f = 1 (ε < μ0); f = 0 (ε > μ0) 0 μ0 ε (2)U?0??Np0???fD(?)d????CV?d???????fD(?)d???CV?d???00000?0?012?03212d?d?01203??0500 2U2UN2232???0n??0n??0n3V3NV3355(3)T>0K时: f?111 （???）；f? （?＝?）；f? （???）222T>0K时，只有在μ附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，设这部分电子的数目为Neff， 则Neff?NCV的贡献为3kT/2, 则金属中自由电子对Cv的贡献为CV?ekT?。每一电子对33kkT3NkkT3NkkT3NkTk?Neff?N?()?()?() 22?2?2kTf2TfCVe1T??0(Tf:104?105) 晶格的热容量为Cv＝3Nk，CV2Tf6．固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率ωi，内能的表达式为：遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。 （1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明； （2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量； （3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。 U?U0??i??ie??/kT?1，式中的求和122 德拜模型：N个分子的振动简化为3N个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限ωD，D(?)d??B?d?. 解：（1）爱因斯坦模型： N个分子的振动简化为3N同频率（ω）的简谐振动，每个振子的能级为?n?(n?)??； (2) 爱因斯坦模型: Z1???ell???l??en1????(n?)2e2; ?????1?e????U??3N?3N??3N??lnZ1???????2e?1?U??2e??/kTCV?()V?3Nk()??/kT?TkT(e?1)2高温时：e??/kT ?1???/kT,e??/kT?1,CV?3Nk （3）U?U0??e??i?13N??ii?D/kT?1?U0??0B??3kT4?D(??/kT)3???U0?B?()?d() e??/kT?1??0e??/kT?1kT3上式的第二项与T的4次方成正比，故CV?T
热力学与统计物理试题及答案
