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2021 届高三统一质量检测
数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，
考试时间 120 分钟.
════════════★祝考试顺利★═══════════
注意事项：
1. 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所
粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答．题．卡．
上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，在． 试．题．卷．、草．稿．纸．上．答．题．无．效．.
4. 考试结束后，务必将试卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分）
一、单项选择题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求．） ? x
a?1
e? a ln x
1. 已知集合 A ? {x | x ?
x
≤ 1}，集合 B ? {x | 2021x ? ln x?2021} , 若 A∩B=A∪B，则实数 a 的取值范围为 A.[-e，1]
B.[-e，e] C.[-1，e] D.[-1，1]
2. 已知复数 z1 和 z2 满足 z1 ? 8 ?14i ? 5 z1 ? 4 ? 6i ， z1 ? z2 ? 3，
则 z2 的取值范围为 A.[0，13]
B.[3，9]
C.[0，10]
D.[3，13]
3. 已知θ为锐角，且满足
tan 3?
? 11 ，则 tan2θ的值为 tanA. 3 B. 4?? 2 4
3
C.
3 D.
3 2
1
4. “你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.
某居民小区有如下六种垃圾桶：
干垃圾
湿垃圾
有害垃圾
可回收垃圾 不可回收垃圾 其他垃圾
一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为 A. 1 B. 5 C. 2
9
120
67 D. 133 240
5. 在△ABC 中，满足 sin22A+sin22B=sin2? ? 2C，则下列说法中错误的是3??
A. C 可能为 4 B. C 可能为 C. C 可能为 D.△ABC 可能为等腰Rt△
ln 2
b b 2 4n
6. 已知正数 a，b 满足 e2 a ?（a
），则正整数 n 的最大值为
A.7 B.8 C.9 D.11 7. 现有一个三棱锥形状的工艺品SS P-ABC，点 P 在底面 ABC 的投影为 Q， △QAB △QAC S△QBC 1 QA2 ? QB2 ? QC 2 1
满足 S??S??? , 2
2 2
?
, S△ABC ? 9 3 . △PAB △PAC S△PBC 2 AB? BC ? CA3若要将此工艺品放入一个球形容器(不计此球形容器的厚度)中， 则该球形容器的表面积的最小值为 A.42π B.44π C.48π D.49π 8. 已知 (x ? a) ln x ? (2 2a ? 1
)x ? 3 ≥e1? x ??x 2 ?1 在 x ?[ 1 ? ?) 上恒成立， a
e2 ，则实数A. (??， ?a 4]的取值范围为 ∪[0 ，1) B. [0， 1
) C. (??，? 2] ∪[0， 2 ) D. [0， 2
) 2 2 2 2
2
二、多项选择题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
会有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）
9. 已知数列{an}的首项 a1=m 且满足4a n?1 ? [7 ? 5 ? (?1) an ] ? a n ? 2 ? 2 ? (?1) an ， 其中 n∈N*，则下列说法中正确的是 A.当
m=1 时，有 an=an+3 恒成立 B.当
m=21 时，有 an+4=an+7 恒成立 C.当
m=27 时，有 an+108=an+111 恒成立 D.当
m=2k(k∈N*)时，有 an+k =an+k+2 恒成立 10. 已知函数 f (x)＝sinax-asinx，x∈[0，2π]，其中 a-lna＞1，
A.则下列说法中正确的是 若 f (x)只有一个零点，则
a∈ (0 ，1
)
2
B. 若 f (x)只有一个零点，则 f (x)≥0 C. 若 f (x)只有两个零点，则 a∈ (1 ，3
恒成立
2
) D. 若 f (x)有且只有一个极值点 x) ??
a ?1? 3a ?1
0，则 f (x0 2
??恒成立 11. 已知抛物线 H：y2=2px 的准线与 x 轴交于 E(-1,0)，其焦点为 F.
过点 F 的直线与抛物线 H 交于 A、B 两点，则下列说法中正确的是
A. EA ? FB ? EB ? FA
B. 若在准线上存在一点 C，使△ABC 为等边三角形，则△ABC 的周长为 36
C. 若在准线上存在一点 C，使△ABC 为直角三角形，则△ABC 的内切圆的
面积可能为
16?25
?D. 若在准线上存在一点 C，使直线 AC 与 x 轴的交点为 D 且△ABC 的重心 G
在 x 轴上，则当 S
△AFG S取得最小值时， S△ABC ? 3 6
△CDG
12. 已知函数 f (x)＝x3+ax+b，若在曲线 y = f (x)的图象上存在四个点构成正方形，
且该正方形的面积为 f (0)，则下列说法中正确的是
A. 当 a 取得最大值时，b 取得最小值，且 a 的最大值为-2 B. b 的最小值为 8
C.10a +7b 的最小值为 24
D.当 b 取得最小值时，设 g (x)＝f (ax+b)-b，则 g (x)有三个零点且各零点处切线斜率的倒数之和为 8a +3b
3
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