本章知识解决方案 1 本章体系建构 命题 定理 互逆命题 互逆定理 证明
答案： ①判断一件事情 ① 的语句叫做命题. 命题由 ② 和 ③ 两部分组②条件 成.正确的命题叫做 ④ ，错误的命题叫做 ⑤ . ③结论 ④真命题 ⑤假命题 用推理的方法得到的真命题叫做 ⑥ . ⑥定理 ⑦结论 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ⑦ ，而第一个命题的⑧条件 结论是第二个命题的 ⑧ ，那么这两个命题叫做互逆命题．其中的一个命题是⑨逆命题 另一个命题的 ⑨ ．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一10定理 ○10 ，这两个定理 ○11叫做定理，其中一个叫做另一个的 ○12 定理． 个 ○11互逆 ○12逆 ○13 .判断一个命题不正确，判断一个命题的正确性的推理过程叫做 ○13证明 ○举一个 14 即可.证明的过程包括已知、求证、证明和图形等. 14反例 命题与证明
2 知识清单及方法技巧点拨 序号 1 知识点 你的判断对吗 叙 述 实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，通过实验、观察、操作得到的结论常常是正确的，但是仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，甚至是错误的 对应举例 图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？ 应用点拨 在解决实际问题时实验、观察和操作是得出结论的重要方式，但实际判断时还需要结合已有知识和经验做出合理的判断. 2 定义 对名称和术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义. 三边相等的三角形是等边三角形 定义一个新概念时，要做到：①定义的概念与定义概念的外延相等；②不应循环；③一般不应是否定判断；④应清楚确切. 3 命题 判断一件事情的句子叫做命题．条件是已知事项；结论是由已知事项推出的事命题“两直线平行，同位角相等”有些命题，没有写成“如条件是“两直线平行”，结论是果……，那么……”的“同位角相等” 形式，条件和结论不明显．对于这样的命题，
项． 要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式． 全等三角形面积相等是真命题，判断一个命题是真命题，需要结合相关数学内错角相等是假命题 知识及其生活经验做出判断，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 课本上选定的这几条是证明真命题的基本命题，此外等式性质和不等式的基本性质也都可以看做是真命题. 4 真假命题 条件成立时，那么结论一定成立的命题叫做真命题，条件成立时，不能保证结论总是成立的命题叫做假命题. 5 基本事实 基本事实是根据人同位角相等，两直线平行； 们生产生活经验得两直线平行，同位角相等； 出的不需要证明的，两边和它们的夹角对应相等的可以作为证明其它两个三角形全等； 真命题的正确性的两角和它们的夹边对应相等的真命题. 两个三角形全等； 三边对应相等的两个三角形全等. 用推理的方法证实真命题的过程叫做证明，经过证明的真命题称为定理 同角的余角相等是一个定理 6 定理与证明 定义一定是真命题，但真命题不一定都是定理，定理是在研究中觉得比较重要和常用的结果，授予它定理得地位.一般来说课本上已黑体字形式出现的文字表述都是定理. 将文字语言转化为符号是教学的难点，要注意多做练习. 7 证明的一般步 骤 （1）根据命题，画出图形；（2）根据命题，结合图形，写出已知，求证；（3）写出证明过程. 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 如果一个定理的逆命题经过证明略 8 互逆命题 “如果两个角都是直角，那么这两个角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是直角”就是一对互逆命题． 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．写一个命题的逆命题并不是简单的条件和结论的互换.还要对其中的一些文字，概念进行调整. 9 互逆定理 “两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线一个定理不一定有逆定理．如，“对顶角相等”
是真命题，那么它也平行”，这两个定理也是互逆定是一个定理，这两个理. 定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理． 10 反例 要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例. 就没有逆定理． 命题“两个锐角的和一定是钝举反例时要符合命题的角”是假命题，我们可以举一反条件，但不符合命题的例：两个30°的角的和是60°． 结论
3解法思路、方法及技巧应用 ① 构造思想
“要什么，求什么，给什么，用什么”是基本的常规解题思路和解题模式，而应用“构造思想”解题则另辟蹊径．在解题过程中根据所给命题的题设条件或结论的结构特征，利用各种知识间的内在联系的性质，或形式上的某种相似性，有目的地构造一个特定的数学模型，从而把原命题转化为一个与之等价却又具有了某种被赋于 特定意义的命题，通过对它的讨论而使原命题得到解法． 【例1】如图11-5-1所示，已知∠BED＝∠B＋∠D. 求证：AB∥CD
分析：由已知条件无法判断AB与CD的位置关系，需构造应用平行线判定方法的条件。因此，过E作∠BEF＝∠B，则AB∥EF，由已知可得∠FED＝∠D，则CD∥EF，由平行线的判定方法可得AB∥CD。
证明：过E作∠BEF＝∠B，所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）。 ∵∠BED＝∠BEF＋∠FED＝∠B＋∠D， A B ∴∠FED＝∠D
F ∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）。 E ∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）。
技巧点拨：解决两条平行线间的“折线”和“拐角”问题，一般是过“拐D C 点”作平行线，构造出相等角和互补角，搭建沟通已知与未知的桥梁，图11-5-1 从而达到解题的目的．本题证明方法不唯一，还可以构造三角形，利用思想内角和定理来证明，请读者思考. ②整体思想
整体思想是中学数学中的一种重要思想方法，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解，各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解 【例2】如图11-5-2，在四边形ABCD中，延长BA、CD相交于点E，延长DA、CB 相交于点F，∠BEC、∠CFD的角平分线相交于点G，若∠ADC=80°， ∠ABC=60°，试求∠EGF的度数.
图11-5-2
分析:延长EG交BC于点H， 则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2，若能分别求得∠1、∠2和∠C的大小，则∠EGF的度数可求，但从条件无法求得.若把∠1+∠2+∠C当成一个整体，再在△BCE和△CDF中根据三角形内角和定理，可使问题迎刃而解.
解:因为EG、FG分别平分∠BEC和∠CFD，所以∠BEC=2∠1，∠CDF=2∠2， 延长EG交BC于点H，则∠EGF=∠EHF+∠2=∠1+∠C+∠2，
在△BCE中，2∠1+∠C+∠CBE=180°，在△CDF中，2∠2+∠C+∠CDF=180， 两式相加，得2(∠1+∠2+∠C)+ ∠CBE+∠CDF=360°，
因为∠CBE=60°，∠CDF=80°，所以∠1+∠2+∠C=110°，即∠EGF=110°.
技巧点拨：在求解与三角形有关的角度问题时，局部求解比较困难，可利用三角形的一个外
0
角等于和它不相邻的两个内角之和及三角形的三角内角的和等于180，应用整体思想求解，可使问题化繁为简，化难为易，复杂问题迎刃而解，同时也有利于同学们数学思维能力的培养.
③转化思想
三角形内角和定理的证明有多种方法，通过添加不同的辅助线的演绎推理的方法，把三角形的3个内角转化为1个平角，或把三角形的3个内角转化为两平行线的同旁内角证明三角形内角和定理及推论，从中体会到不同的添加辅助线方法的实质是相同的——把一个我们不会解的新问题，转化为我们会解的问题.这一活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，这是一种重要的数学思想，不少有些数学问题，初看觉得无从下手，但若能转化解题思路，问题便能得到顺利解决. 【例3】如图11-5-3，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
分析：这是一个不规则的图形，所以不能直接求出其度数和，三角形的外角定理来解决.
0
图11-5-3
解：由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP． 而∠OQA、?∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角． ∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°． 技巧点拨：在求一个不规则图形的度数和时，利用外角进行巧妙的转化成内角和或是已知度
数是成功的关键. ④构造逆命题的技巧
1.当一个命题的题设与结论比较明显时，只要将条件和结论互换即可得到命题的逆命题； 2. 当一个命题的条件、结论不太分明，可先确定结论，再确定条件，然后将命题改写成“如果…… ，那么……”的形式，再互换条件和结论，从而得到逆命题； 3.当一个命题中特定的名称时，在写逆命题时，要注意要命题中的一些特定的名称的修改； 4.当一个命题的条件不唯一时，它的逆命题也是不唯一的. 【例4】写出下列命题的逆命题 （1）等腰三角形的两个底角相等；（2）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
解析：（1）顶角和底角是等腰三角形所特有的，一般的三角形是没有顶角和底角的，它的逆命题不可以写成两个底角相等的三角形是等腰三角形，而应写成有两个角相等的三角形是等腰三角形；（2）只有一个三角形是直角三角形时，它的边长才可以称为直角边和斜边，它的逆命题不可以写成两条直角边的平方和等于斜边的平方的三角形是直角三角形，而应写成如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【例5】写出命题“在等腰三角形底边上的中线，是顶角的平分线也是底边上的高”的逆命题.
解析：原命题条件有两个，即“等腰三角形和底边上的中线”，结论也有两个，即“一个角的平分线也是边上的高”，其逆命题可以将条件结论直接交换，可得新命题“如果三角形一个角的平分线也是对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形，这条线也是对边上的中线.”也可以在两个条件中任意选一个与结论对调，即它的逆命题可以为“如果三角形一个角的平分线垂直平分它的对边，那么这个三角形是等腰三角形”，或“在等腰三角形中，底边上的高平分顶角，平分它的对边”. 技巧点拨：写一个命题的逆命题应根据原命题的具体特征，分清条件和结论的基础上调换条件和结论，再对语言适当加工整理即可. ⑤几何证明题常见分析思路
【例6】已知：如图11-5-4， AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P． 求证：∠P=90°．
思路一：逆推法，即在搞清题设的前提下，从结论出发进行思考的一种方法．
图11-5-4
分析：要证明∠P=90°，就是要证明∠PEF+∠PFE=90°，而PE，PF是∠BEF的平分线与∠DFE的平分线，只须证∠BEF+∠DFE=180°，即只要AB∥CD. 证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°
又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，
湘教版解读-图形与证明一本章知识解决方案
