第二章
函数的概念及基本初等函数
( Ⅰ )
全国卷 5年考情图解
高考命题规律把握
1.高考对本章的考查一般为 1～ 3 道小题．
2.从考查内容上看主要涉及函数的图象，
多为
给出具体函数解析式判断函数的图象；函数
的性质及函数性质的综合问题；指数、对数、
幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函 数值，也有解不等式，常与指数、对数函数， 零点相结合．
3.本章一般不单独涉及解答题，
在解答题中多
与导数、不等式结合命题，试题难度较大 .
第一节 函数及其表示
1．函数与映射
函数
映射 两集合 A，B
设 A， B 是非空的数集
设 A， B 是非空的集合
如果按某一个确定的对应关系
f，使 如果按照某种确定的对应关系
f，使对
对应关系 f：
对于集合 A 中的任意一个元素
x，在 于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B
A→ B B 中都有唯一确定的元素
y 与之
中都有唯一确定的数 f(x)和它对应
集合
对应
名称 称 f： A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一
称对应 f：A→ B 为从集合 A 到集合 B
个函数 的一个映射
记法 y＝ f(x)， x∈ A
对应 f： A→ B 是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数 y＝ f(x)， x∈ A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做 函数的定义域 ? ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值
域 ? .显然，值域是集合 B 的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判
断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
?
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数．
,(1) 确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数 y＝ f( x)用表格给出，则表格中 x 的集合即为定义域．
(3)如果函数 y＝ f( x)用图象给出，则图象在 x 轴上的投影所覆盖的
x 的集合即为定义域 .
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
各段函数的定义域不可以相交 . (3)
[熟记常用结论 ] R ； 0； 0；
若 f(x)为整式，则函数的定义域为 (1) 若 f(x)为分式，则要求分母不为 (2) 若 f(x)为对数式，则要求真数大于 (3)
(4) 若 f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负； (5) 若 f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式
(组 )．
[小题查验基础 ]
一、判断题 (对的打 “√” ，错的打 “×” ) (1)对于函数 f：A→ B，其值域是集合
B.( )
(2) 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． (3) 函数是一种特殊的映射．
()
(
)
(4)若 A＝ R， B＝ (0，＋∞ )， f： x→ y＝ |x|，则对应 f 可看作从 A 到 B 的映射． () (5) 分段函数是由两个或几个函数组成的． 答案： (1) × (2)× (3)√ 二、选填题
1．下列图形中可以表示为以 的是 (
(
)
(4) × (5)×
M ＝ {x|0≤ x≤ 1}为定义域，以 N＝ {y|0≤ y≤ 1}为值域的函数
)
解析： 选 C A 选项，函数定义域为 M ，但值域不是 N ，B 选项，函数定义域不是 M ，
值域为 N， D 选项，集合 C.
M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不能构成函数关系．故选
2．下列函数中，与函数 y＝ x＋ 1 是相等函数的是 () A． y＝ ( x＋ 1)
x2＋ 1 C． y＝ x
2
B． y＝ x3＋ 1 D ． y＝ x2＋ 1
3
解析： 选 B 对于 A，函数 y＝ (
x＋ 1)2 的定义域为 {x|x≥ － 1}，与函数 y＝ x＋ 1 的定义
C，函数 y D ，定义
域不同，不是相等函数；对于
2 B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于
＝ x＋ 1 的定义域为 {x|x≠ 0}，与函数 y＝ x＋ 1 的定义域不同，不是相等函数；对于 x 域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选
B.
3．函数 f(x)＝ 2x－ 1＋
1 的定义域为 ________． x－ 2
解析： 由题意得
2x－ 1≥ 0，
解得 x≥ 0 且 x≠ 2.
x－ 2≠ 0，
答案： [0,2) ∪ (2，＋∞ ) 4．若函数 f(x)＝
2
－
ex 1， x≤ 1，
则 f(f(2)) ＝ ________.
0
5－ x ， x>1，
解析： 由题意知， f (2)＝ 5－ 4＝ 1， f(1)＝ e ＝ 1，
答案： 1
5．已知函数 f(x)＝ ax3－ 2x 的图象过点 (－ 1,4)，则 f (2)＝ ________.
解析： ∵函数 f(x)＝ ax3－ 2x 的图象过点 (－ 1,4)
∴ 4＝－ a＋ 2，∴ a＝－ 2，即 f(x)＝－ 2x3－ 2x， ∴ f(2)＝－ 2× 23－ 2× 2＝－ 20. 答案： － 20
考点一
求函数的解析式 [师生共研过关 ]
[典例精析 ]
2
(1)已知 f x＋ 1 ＝ lg x，求 f(x)的解析式．
已知 f(x)是二次函数，且 f(0) ＝ 0， f(x＋ 1)＝ f (x)＋ x＋ 1，求 f(x)的解析式． (2) 已知函数 f(x)满足 f(－ x)＋ 2f(x)＝ 2x，求 f(x)的解析式． (3) 2
[解 ] (1)( 换元法 )令 x
＋ 1＝ t，得 x＝ 2 ，
－
t 1
2024版高考理科数学一轮复习讲义：第二章第一节函数及其表示Word版含答案.doc
