数学北师版选修2-2第五章 数系的扩充与复数的引入单元
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(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每题5分，共40分)
1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有( )． A．a－c＝0，且b－d≠0 B．a－c＝0，且b＋d≠0 C．a＋c＝0，且b－d≠0 D．a＋c＝0，且b＋d≠0 2．如果一个复数和它的模的和为5＋3i，那么这个复数是( )． A．
11 5
B．3i
C．
11?3i 5D．
11?23i 53．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是( )． A．2－3i B．4＋8i C．4－8i D．1＋4i 5．若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是( )．
A．
13?i 22B．x1＝4，x2＝－1 C．－4＋3i D．
13?i 226．i是虚数单位，则i＝( )． 3?3iB．
A．
13?i 41213?i 412 C．
13?i 26D．
13?i 267．i是虚数单位，若A．－15
1?7i＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )． 2?iB．－3
C．3
D．15
8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则A．i
B．－i
z＝( )． z
D．±i
C．±1
二、填空题(每题5分，共15分) 9.
1?i表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝__________. 1?i10．对于n个复数z1，z2，…，zn，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1z1＋k2z2＋…＋knzn＝0，就称z1，z2，…，zn线性相关．若要说明z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，那么可取{k1，k2，k3}＝__________(只要写出满足条件的一组值即可)．
11．关于实数x的不等式mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数n＋pi对应的点位于复平面内的第______象限．
三、解答题(每题15分，共45分)
12．若f(z)＝z＋1＋i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)·f(z1＋z2)． 13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)． (1)求b，c的值；
(2)试证明1－i也是方程的根． 14．已知ω＝z＋i(z∈C)，
z?2是纯虚数，又|ω＋1|2＋|ω－1|2＝16，求ω. z?2
参考答案
1. 答案：A 解析：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i， ∵z1－z2是纯虚数，∴a－c＝0，且b－d≠0.
2. 答案：B 解析：设这个复数为a＋bi(a，b∈R)． 由题意得a＋bi＋a2?b2＝5＋3i， 即a＋a2?b2＋bi＝5＋3i，
11?22?a?,??a?a?b?5,5∴?解得? ?b?3,??b?3,?∴所求复数为
11?3i. 53. 答案：A 解析：∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i， ∴z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝2＋5i， ∴点Z位于复平面内的第一象限．
4. 答案：B 解析：AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z，由平行四边形法则知AB＝DC，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z， ∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝4－8i.
5. 答案：B 解析：令x＝a＋bi(a，b∈R)，则a2?b2＝1＋3i－a－bi，
??a??4,?a2?b2?1?a,∴?解得? ??b?3,?0?3?b,故原方程的解为－4＋3i.
6. 答案：B 解析：ii(3?3i)3?3i13????i.
124123?3i(3?3i)(3?3i)1?7i(1?7i)(2+i)?5?15i??＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b2?i(2?i)(2+i)57. 答案：B 解析：
＝3，∴ab＝－3.
8. 答案：D 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.
?2a?4,由z＋z＝4，z· z＝8，得?22?a?b?8,∴??a?2,∴z＝2＋2i或z＝2－2i，
?b??2,∴z＝2－2i或z＝2＋2i， ∴当z＝2＋2i时，
z2?2i?＝－i； z2?2i当z＝2－2i时，
z2?2i?＝i. z2?2i1?i(1?i)2?9. 答案：1 解析：＝i，∴a＝0，b＝1， 1?i2∴a＋b＝1.
10. 答案不唯一，如?1,2,? 解析：k1(1＋2i)＋k2(1－i)＋k3(－2)＝0， ∴(k1＋k2－2k3)＋(2k1－k2)i＝0. ∴???3?2??k1?k2?2k3?0,不妨取k1＝1，
?2k1?k2.3?3?，即{k1，k2，k3}＝?1,2,?.
2?2?则k2＝2，k3＝
11. 二 解析：∵mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，
??m?0,?n?∴?(?1)?2?,即n＜0，p＞0，
m?p?(?1)?2?,?m?∴复数n＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
12. 解：z1＋z2＝(3＋4i)＋(－2＋i)＝1＋5i， z1－z2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝5＋3i， ∴f(z1－z2)＝5＋3i＋1＋i＝6＋4i， f(z1＋z2)＝1＋5i＋1＋i＝2＋6i，
∴f(z1＋z2)·f(z1－z2)＝(2＋6i)·(6＋4i)＝－12＋44i. 13. 解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(2＋b)i＝0， ∴??b?c?0,?b??2,∴?
?2?b?0,?c?2.(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程的左边得，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
∴1－i也是方程的根．
14. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
z?2(a?2)?bi(a2?b2?4)?4bi??∴. z?2(a?2)?bi(a?2)2?b2?a2?b2?4,z?2由是纯虚数得? ① z?2?b?0,∴|ω＋1|2＋|ω－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2 ＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2 ＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2 ＝2(a2＋b2)＋4＋4b ＝12＋4b＝16，
∴b＝1，代入①得a＝?3， ∴z＝?3＋i，ω＝?3＋2i.
数学北师大选修单元检测：第五章 数系的扩充与复数的引入 含解析
