2011—2012学年第二学期
《高等数学(2-2)》期中试卷专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2012年4月15日
页 号 本页满分 本页得分 阅卷人 注意事项
一 24 二 13 三 14 四 14 五 18 六 总分 17 1.请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2.答题时请注意书写清楚，保持卷面整洁；
3.本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4.本试卷正文共6页。
一、填空题（每空3分，共计18分）
?r?rrrrr(a,b)?6，则向量a?b的模为 1. 设|a|?3，|b|?1，
222. 过曲面z?4?x?y上点P处的切平面平行于
本页满分24分 本页得分 2x?2y?z?1?0，则点P的坐标为 .
223. 函数z?1?(x?2y)在点
M(11,)22处沿曲线
x2?2y2?1在该点的内法线方向n的方向导数
r为 .
3y?x4. 设D为及x??1，y?1所围成的闭区域，则
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I???xydxdyD .
5.
?10dx?xxsinydyy= .
?2u6. 设函数f具有二阶连续的偏导数，u?f(xy,x?y)，则?x?y等于 .
二、选择题（每小题3分，共计12分)
1. z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微是该函数在点(x0,y0)处连续的（ ） （A）必要非充分条件； （B）充分非必要条件； （C）充分必要条件； （D）既非充分也非必要条件. 2. 若D1:?1?x?1,?2?y?2;D2:0?x?1,0?y?2,则
I1?D1123123??sin(x2?y)d?I2?与D2??sin(x2?y)d?之间的关系是（ ）．
本页满分13分 本z223. 设z?z(x,y)由方程y?z?xf(y?z)确定，f可微，
（A）x； （B）y； （C）z； （D）1．
?uz4. 函数u?xy，?x等于（ ）．
?z?zx?z??y（ ） 则?x (A) zxy； (B) xy； (C) y； (D) y．
三、计算题（每题7分，共计35分）
1. 求与已知平面2x?y?2z?5?0平行且与三个坐
标平面所围成的四面体的体积为1的平面的方程. 2. 计算二重积分3. 计算二次积分本页满分14分 本页得第 2 页
2(x?y)dxdy??D1214yyxzz?1z?1页得分 22本页满分14，其中D为x?y?1.
?dy?1edx??1dy?edx22y1yyx分 .
本页得分 分 xyu?f(,)yz,求du. 4. 设
2225. 求区域?的体积V，其中?是由半球面z?3a?x?y及旋转抛
22x?y?2az所围成(a?0). 物面本页满分18分 本页得本页满分17分 分 本页得分 四、解答题（每题9分，共计27分）
22??z?x?y,?2222x?2y?z?0在点(1,1,2)处的切线方程?1. 求曲线?与法平面方程.
22x?y?z，x?y?z?1交线上的点到坐标2. 求两曲面
原点的最长与最短距离.
3.设f(u)连续且f(0)?0，区域?由0?z?h，
x2?y2?t2围成，设
F(t)????[z2?f(x2?y2)]dV?，求
dFF(t)lim2dt及t?0t.
五、证明题（8分）
设f(t)为连续函数，试证明：
??f(x?y)dxdy???af(t)(a?|t|)dtDa，其中D为矩形域：
aa|x|?,|y|?22，常数a?0.
答案
一、填空题（每空3分，共计18分） 1. 7'''''''f?xyf?f(x?y)?f(1,1,2)601?sin11111222；2. ；3. ；4. ；5. ；6.
二、选择题（每小题3分，共计12分)
1.（ B ）；2.（ C ）；3.（ B ）；4.（ D ）． 三、计算题（每题7分，共计35分）
1. 求与已知平面2x?y?2z?5?0平行且与三个坐标平面所围成的
四面体的体积为1的平面的方程.
解：由于所求平面与已知平面2x?y?2z?5?0平行，故设该平面方
程为2x?y?2z?D?0；
又所求平面与坐标平面所围四面体的体积为1，即
1|D||D|??|D|??13622，得D??23，
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32x?y?2z?23?0. 所求平面方程为
2. 计算二重积分
2(x?y)dxdy??D22，其中D为x?y?1.
222(x?y)?x?2xy?y解：，
又积分区域D关于x轴对称，2xy关于y为奇 函数，利用对称性，则
??2xydxdy?0D，故
222(x?y)dxdy?(x?y)dxdy????DD，
?0???2?,?在极坐标系下，D可表示为：?0?r?1,
223. 计算二次积分.
解：根据二次积分的形式，可得积分区域D如图所示，将D看成X型
?1214dy?1edx??1dy?edxyyyx1yyx?1??x?1,?2?x2?y?x,域，则D可表示为?即有
xyu?f(,)yz,求du. 4. 设
?u1'?ux1'?f1??2f1'?f2'?u??yf2yz，?zz2，则 解：（方法一）：?xy，?y1'x'1'y'du?f1dx?(?2f1?f2)dy?2f2dzyyzz. （方法二）：利用全微分形式不变性，得
222z?3a?x?y5. 求区域?的体积V，其中?是由半球面及旋转抛物面x?y?2az所围成(a?0).
解：（方法一）利用二重积分
222??z?3a?x?y?x2?y2?2a2???22x?y?2az??z?a半球面与旋转曲面交线为?，即?，则?在
xoy面上的投影域为D:x2?y2?2a2，
22x2?y2V???(3a?x?y?)dxdy2aD所求体积，利用极坐标系，
222（方法二）利用三重积分与柱面坐标系，
V????dV??d???02?2a0?3a2?r2r22a5rdz?2?a3(3?)6.
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四、解答题（每题9分，共计27分）
22??z?x?y,?2222x?2y?z?0在点(1,1,2)处的切线方程与法平面方??1. 求曲线
程. 22???z?x?y,?x2?y2?2,?2?222x?2y?z?0??z?2解：（方法一）：曲线方程?可化简为?易?x?2cost,???y?2sint,??z?2t??4，该点知其参数方程为?在点(1,1,2)处，对应的
(?2sint,2cost,0)|处的切向量为
t??4?(?1,1,0)??(1,?1,0)，故所
x?1y?1z?2???10；法平面方程为x?y?0. 求切线方程为122??z?x?y,?2222x?2y?z?0??（方法二）：利用方程组确定的隐函数求导，方程组
dy?dz?2x?2y,??dxdx??4x?4ydy?2zdz?0dxdx?两边对x求导，得?即
x?dy?dydz??,2y???2x,??y?dx?dxdx???dz?0?2ydy?zdz??2x??dxdx?dx解得?，故在点(1,1,2)处，切向量为
(1,?1,0)，以下同上（方法一）.
22x?y?z，x?y?z?1交线上的点到坐标原点的最长2. 求两曲面
与最短距离.
222(x,y,z)x?y?z解：假设所求点为，为方便起见考察函数在条件
x2?y2?z，x?y?z?1下的最大值和最小值.
构造拉格朗日函数
F(x,y,z,?1,?2)?x2?y2?z2??1(x2?y2?z)??2(x?y?z?1)第 5 页
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