尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第2篇 选择与需求 第3章 偏好与效用
课后习题详解
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS是否随着x的增加而递减）。
（1）U?x,y??3x?y （2）U?x,y??x?y （3）U?x,y??x?y （4）U?x,y??x2?y2 （5）U?x,y??xy x?y答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。边际替代率为：MRS?fx/fy?3/1?3，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线
（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。边际替代率为：MRS?fx/fy?0.5?y/x?0.5?y/x?0.5?0.5?y/x，随着x的递增，MRS将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线
（3）无差异曲线如图3-9所示。边际替代率为：MRS?fx/fy?0.5x?0.5，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线
（4）无差异曲线如图3-10所示。 边际替代率为：MRS?fx/fy?0.5?x2?y2?代率递增，无差异曲线不是凸状的。
?0.5?2x/0.5(x2?y2)?0.5?2y?x/y，因而边际替
图3-10 凹状的无差异曲线
（5）无差异曲线如图3-11所示。 边际替代率为：MRS?fx/fy?减，无差异曲线是凸状的。
?x?y?y?xy?x?y?x?xy22/?y/x，因而边际替代率递22x?yx?y????
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图3-11 凸状的无差异曲线
2．在第3章的脚注7中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的MRS（即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：
f22f11?2f1f2f12?f12f22?0
利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。描述此过程中你发现的任何捷径。
答：在第1题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。 （1）因为f11?f22?f2?0，所以该效用函数不是严格拟凹的。 （2）因为f11，f22?0，f12?0，所以该效用函数是严格拟凹的。 （3）因为f11?0，f22?0，f12?0，所以该效用函数是严格拟凹的。
（4）尽管仅考察x?y时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不一定是严格拟凹的。
（5）因为f11，f22?0，f12?0，所以效用函数是严格拟凹的。
3．对于如下效用函数： （1）U?x,y??xy （2）U?x,y??x2y2 （3）U?x,y??lnx?lny
证明：尽管这些效用函数具有递减的MRS，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。你能从中得出什么结论？
证明：（1）Ux?y，Uxx?0，Uy?x，Uyy?0，MRS?y/x； （2）Ux?2xy2，Uxx?2y2，Uy?2x2y，Uyy?2x2，MRS?y/x； （3）Ux?1/x，Uxx??1/x2，Uy?1/y，Uyy??1/y2，MRS?y/x。
从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率MRS。
4．如图3-12所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线U?k985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
上的任何两点（x1，y1）和（x2，y2），两点的中点??x1?x2y1?y2,22???相应的效用至少与k一?样大。利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。务必图示你的结论。
图3-12 利用图形判断凸性
答：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：
U?x1,y1??x1?k?U?x2,y2??x2?U???x1?x2?/2,?y1?y2?/2????x1?x2?/2
如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：y1?x1?k?y2?x2，因而有：
?x1?x2?/2?k ?y1?y2?/2?k
从而可知无差异曲线如图3-13所示，是凸状的。
图3-13 利用图形来判断无差异曲线的性状 （2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：
U?x1,y1??x1?k?U?x2,y2??x2?U???x1?x2?/2,?y1?y2?/2????x1?x2?/2
如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：y1?x1?k?y2?x2，因而有：
?x1?x2?/2?k，?y1?y2?/2?k
从而可知无差异曲线如图3-13所示，不是凸状的，而是凹状的。
（3）在完全替代型的效用函数下，有：
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U?x1,y1??k?U?x2,y2??U???x1?x2?/2,?y1?y2?/2??
因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。
5．Phillie Phanatic总是喜欢以一种特定的方式来吃BallparkFranks牌的热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。
他的效用是以上四种物品的函数，并且额外一种物品的数量增加而其他成分不变是不会增加他的效用的。
（1）Phillie Phanatic对于这四种物品的效用函数的形式是什么？
（2）我们可以如何将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？
（3）假设每英尺热狗的价格为1美元，小圆面包价格为0.5美元，每盎司芥末的价格为0.05美元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15美元，则（2）问中定义的商品的价格是多少？
（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5美元），则该商品的价格增加的百分比是多少？
（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？你的答案与（4）问中有何不同？
（6）如果政府对Phillie Phanatic购买的每单位商品征税1美元，则税收将如何在这四种商品中分担，从而使Phillie Phanatic的效用成本最小化？
解：（1）如果h代表热狗，b代表小圆面包，m代表芥末，r代表调味品，则Phillie Phanatic的效用函数可以表示为：
U?h,b,m,r??Min?h,2b,m,0.5r?
这是完全互补效用函数。 （2）可以将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗。
（3）该种商品的价格是：1?0.5?0.5?0.05?2?0.15?1.6（美元）。 （4）如果热狗的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：
1.5?0.5?0.5?0.05?2?0.15?2.1（美元）
因此，该种商品的价格上涨幅度为：?2.1?1.6??1.6?31%。
（5）如果小圆面包的价格增至0.5??1?0.5??0.75（美元），则该种商品的价格为：
1?0.5?0.75?0.05?2?0.15?1.725（美元）
因此，该种商品的价格上涨幅度为：?1.725?1.6??1.6?7.8%。
（6）提高价格以使完全调配好的热狗的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。为使Phillie Phanatic的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按1:2:1:0.5进行分担。即对每英尺热狗征税0.22美元，每单位小圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜征收0.11美元，此时Phillie Phanatic的效用成本最小。
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