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椭圆经典例题分类汇总
1.椭圆第一定义的应用
0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例1 椭圆的一个顶点为A?2，分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
0?为长轴端点时，a?2，b?1， 解：（1）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为：410?为短轴端点时，b?2，a?4， （2）当A?2，x2y2??1； 椭圆的标准方程为：
416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
x2y21??1的离心率e?，求k的值． 例2 已知椭圆
k?892分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a?k?8，b?9，得c?k?1．由e?2221，得k?4． 2当椭圆的焦点在y轴上时，a?9，b?k?8，得c?1?k．
22211?k15，得?，即k??． 29445∴满足条件的k?4或k??．
4由e?说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为k?8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
x2y2???1表示椭圆，求k的取值范围． 例3 已知方程
k?53?k?k?5?0,?解：由?3?k?0,得3?k?5，且k?4．
?k?5?3?k,?∴满足条件的k的取值范围是3?k?5，且k?4．
精品
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说明：本题易出现如下错解：由??k?5?0,得3?k?5，故k的取值范围是3?k?5．
?3?k?0,精品
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出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a?b?0这个条件，当a?b时，并不表示椭圆． 例4 已知xsin??ycos??1(0????)表示焦点在y轴上的椭圆，求?的取值范围． 分析：依据已知条件确定?的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出?的取值范围．
22x2y211??1．因为焦点在y轴上，所以?解：方程可化为??0． 11cos?sin?sin?cos?因此sin??0且tan???1从而??(
?3,?)． 2411?0，??0，这是容易忽视的地方． sin?cos?1122(2)由焦点在y轴上，知a??，b?． (3)求?的取值范围时，应注意题目中的条件
cos?sin?0????
说明：(1)由椭圆的标准方程知
?x?3??y2?64的内部与其相内切，求动圆圆心P0?，例5 已知动圆P过定点A??3，且在定圆B：2的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
0?和定圆圆心B?3，0?距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A??3，即PA?PB?PM?PB?BM?8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x2y2??1． 半长轴为4，半短轴长为b?4?3?7的椭圆的方程：
16722说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
2.焦半径及焦三角的应用
x2y??1，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距例1 已知椭圆
43离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设M存在，设M?x1，y1?，由已知条件得
2a?2，b?3，∴c?1，e?∵左准线l的方程是x??4， ∴MN?4?x1．
1． 2精品
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又由焦半径公式知：
11，MF?a?ex?2?xMF?a?ex?2?x1． 1112122∵MN?MF1?MF2，∴?x1?4???2?22??1??1?x1??2?x1?． 2??2?整理得5x1?32x1?48?0．
2解之得x1??4或x1??12． ① 5另一方面?2?x1?2． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．
x2y2例2 已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是
ab椭圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面积（用a、b、?表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边，从而利用S??1 absinC求面积．
2解：如图，设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F222?PF?2PF1?PF21·PF2cos??4c．①
222b2由椭圆定义知： PF． 1?PF2?2a ②，则②－①得 PF1?PF2?1?cos?2故S?F1PF212b21?sin? ?b2tan． ?PF1?PF2sin? ?21?cos?223.第二定义应用
x2y2??1的右焦点为F，例1 椭圆过点A1，3，点M在椭圆上，当AM?2MF为最小值时，1612求点M的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率e?般地，求AM???1，把2MF转化为M到右准线的距离，从而得最小值．一21MF均可用此法． e1，右准线2解：由已知：a?4，c?2．所以e?l：x?8．
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过A作AQ?l，垂足为Q，交椭圆于M，故MQ?2MF．显然AM?2MF的最小值为
AQ，即M为所求点，因此yM?3，且M在椭圆上．故xM?23．所以M23，3．
说明：本题关键在于未知式AM?2MF中的“2”的处理．事实上，如图，e???1，即MF是2M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到
右准线距离之和取最小值．
x2y2例2 已知椭圆2?2?1上一点P到右焦点F2的距离为b(b?1)，求P到左准线的距离．
4bb分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
3x2y2解法一：由2?2?1，得a?2b，c?3b，e?．
24bb由椭圆定义，PF1?PF2?2a?4b，得
PF1?4b?PF2?4b?b?3b．
由椭圆第二定义，
PF1d1?e，d1为P到左准线的距离，
∴d1?PF1e?23b，
即P到左准线的距离为23b． 解法二：∵
PF2d2PF2e?e，d2为P到右准线的距离，e?c3?， a2∴d2?23a283?b．又椭圆两准线的距离为2??b．
3c38323b?b?23b． 33∴P到左准线的距离为
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
x2y2??1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一例3 已知椭圆95精品
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节 椭圆 经典例题汇总
