2016年中考数学与二次函数有关的压轴题
纵观2016年全国各省市中考数学试卷其中与二次函数有关的压轴题，其考点涉及：一次函数、二次函数的性质，函数图像上点的坐标与方程的关系；轴对称和等腰三角形的性质；特殊平行四边形性质；图形的旋转变换；相似三角形的性质；锐角三角函数应用；圆的性质；阅读理解，等.129数学思想涉及：分类讨论；数形结合；转化，等.现选取部分省市的2016年中考题展示，以飨读者.
一、与特殊平行四边形性质的有关综合题
【题1】（2016?成都第）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧． （1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
2
【分析】（1）把点C代入抛物线解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出点A、B坐标． ①当直线l边AD相交与点M1时，（2）先求出四边形ABCD面积，分两种情形：根据S
=
×10=3，
求出点M1坐标即可解决问题．②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2坐标． （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，得到b=k，利用方
程组求出点M坐标，求出直线DN解析式，再利用方程组求出点N坐标，列出方程求出k，即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣）．∴a﹣3=﹣，解得：a=，∴y=（x+1）2﹣3 当y=0时，有（x+1）2﹣3=0，∴x1=2，x2=﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0）． （2）∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣），D（﹣1，﹣3）
∴S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+（+3）×1+×2×=10． 从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： ①当直线l边AD相交与点M1时，则S
=
×10=3，∴×3×（﹣y
）=3
1
∴y
=﹣2，点M1（﹣2，﹣2），过点H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直线l的解析式为y=2x+2．
②当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2（，﹣2），过点H（﹣1，0）和M2（，﹣2）的直线l的解析式为y=﹣x﹣．综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=﹣x﹣． （3）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，
∴﹣k+b=0，∴b=k， ∴y=kx+k．由
，∴
+（﹣k）x﹣﹣k=0，
∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，
∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（k﹣1， k2）． 假设存在这样的N点如图，直线DN∥PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3 由
，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）
∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM， ∴（3k）2+（3k2）2=（
）2+（
）2，
，
﹣1，1）
整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0， 解得k=±∵k＜0，∴k=﹣
，∴P（﹣3
﹣1，6），M（﹣
﹣1，2），N（﹣2
∴PM=DN=2，∵PM∥DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，
∴四边形DMPN为菱形，
∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2﹣1，1）． 【题2】（2016?泰安第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax+bx+c的表达式； （2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标． 【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）+9，
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∵抛物线与y轴交于点A（0，5）， （2）当y=0时，﹣x+4x+5=0， 设直线AB的解析式为y=mx+n， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+5； ∴PD=﹣x+4x+5+x﹣5=﹣x+5x，
2
2
2
∴4a+9=5，∴a=﹣1， y=﹣（x﹣2）+9=﹣x+4x+5， ∴x1=﹣1，x2=5， ∴E（﹣1，0），B（5，0）， ∵A（0，5），B（5，0）， ∴m=﹣1，n=5，
2
设P（x，﹣x+4x+5）， ∴D（x，﹣x+5），
2
22
2
∵AC=4，∴S四边形APCD=×AC×PD=2（﹣x+5x）=﹣2x+10x，
∴当x=﹣
=时， ∴S四边形APCD最大=
，
（3）如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H， ∵MN∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE， ∴HM=OE=1， ∴M点的横坐标为x=3或x=1， 当x=1时，M点纵坐标为8， 当x=3时，M点纵坐标为8， ∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）， ∵A（0，5），E（﹣1，0）， ∴直线AE解析式为y=5x+5， ∵MN∥AE， ∴MN的解析式为y=5x+b，
222
∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE=OA+0E=26
222222
∵MN=AE ∴MN=AE，∴MN=（2﹣1）+[8﹣（10+b）]=1+（b+2） ∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8）∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
2
∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N， ∴1+（b+2）=26， ∴b=3，或b=﹣7， ∴10+b=13或10+b=3 ∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）， 【题3】（2016?东营）
参考答案：
3
【题4】（2016?扬州）如图1，二次函数y=ax+bx的图像过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1.
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（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图像上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图像与该二次函数的图像交于O、C两点，点T为该二次函数图像上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C
ON2重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N。若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值。
OM24）或P（3?1，2） （3）k= 参考答案：（1）y?x?2x （2）P（5?1，1 2
Ayyy31AMNCTx图3-1OxOxBB图1图2（备用图）二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题
O【题5】（2016?益阳）如图，顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB； （3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
解析：（1）∵抛物线顶点为A(3,1)，
设抛物线对应的二次函数的表达式为y?a(x?3)2?1，
1将原点坐标（0，0）代入表达式，得a??．
3123 ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：y??x2?x．
33123（2）将y?0 代入y??x2?x中，得B点坐标为：(23,0)，
33设直线OA对应的一次函数的表达式为y?kx， 将A(3,1)代入表达式y?kx中，得k?∴直线OA对应的一次函数的表达式为y?3x． 333x?b，将B(23,0)代入y?x?b中，得333， 3∵BD∥AO，设直线BD对应的一次函数的表达式为y?b??2 ，
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2016年中考数学分类汇编(整理)
