高等代数矩阵练习题参考答案

由天下分享时间：2025/1/2 11:42:00 加入收藏我要投稿点赞

第四章矩阵习题参考答案

一、判断题

1. 对于任意n阶矩阵A，B，有错.

2. 如果A?0,则A?0.

2A?B?A?B.

?11?2错.如A???,A?0,但A?0.

?1?1??3. 如果A?A2?E，则A为可逆矩阵.

正确.A?A2?E?A(E?A)?E，因此A可逆，且A?1?A?E.

4. 设A,B都是n阶非零矩阵，且AB?0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.

错.由AB?0可得r(A)?r(B)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n.

5．A,B,C为n阶方阵，若AB?AC, 则B?C.

?11??21??32?错.如A???,B???,C???，有AB?AC,但B?C.

?1?1?2?1?3?2??????6．A为m?n矩阵，若r(A)?s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ???正确.右边为矩阵7．n阶矩阵正确.由

?Is?00??. ?0?A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形.

A可逆，则A*也可逆.

1A. |A|A可逆可得|A|?0，又AA*?A*A?|A|E.因此A*也可逆，且(A*)?1?8．设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*?B*A*. 正确.(AB)(AB)*?|AB|E?|A||B|E.又

(AB)(B*A*)?A(BB*)A*?A|B|EA*?|B|AA*?|A||B|E.

因此(AB)(AB)*?(AB)(B*A*).由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得

(AB)*?B*A*.

二、选择题

1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B??B),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A)

TAB?BA (B) AB?BA (C) (AB)2 (D) BAB

(A)(D)为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（C）当A,B可交换时为对称矩阵. 2. 设A是任意一个n阶矩阵，那么（ A）是对称矩阵. (A) ATA (B) A?AT (C) A2 (D) AT?A

3．以下结论不正确的是（ C ）. (A) 如果(B) 如果(C) 如果(D) 如果

A是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵； A是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵； A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵； A是对角阵，则A2也是对角阵.

j列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）

4．A是m?k矩阵, B是k?t矩阵, 若B的第(A) (C)

AB的第j行元素全等于零； (B)AB的第j列元素全等于零； BA的第j行元素全等于零； (D) BA的第j列元素全等于零；

5．设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) (A?B)?A?2AB?B (B) A?B?(A?B)(A?B) (C) (AB)?AB (D) A?E?(A?E)(A?E) 6．下列命题正确的是（B ）. (A) 若AB? (B) 若AB?(C) 若AB? (D) 若AB?2222222222AC，则B?C

AC，且A?0，则B?C AC，且A?0，则B?C AC，且B?0,C?0，则B?C

7. A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（ B）. (A) 当m?n时，必有行列式(B) 当m?n时，必有行列式(C) 当n?m时，必有行列式

AB?0； AB?0 AB?0；

(D) 当n?m时，必有行列式AB?0.

AB为m阶方阵，当m?n时，r(A)?n,r(B)?n,因此r(AB)?n?m，所以AB?0.

8．以下结论正确的是（ C ） (A) 如果矩阵A的行列式

2A?0,则A?0；

(B) 如果矩阵A满足A?0，则A?0；

9．设?1,?2,?3,?4是非零的四维列向量，A?(?1,?2,?3,?4),A*为A的伴随矩阵，已知Ax?0的基础解系为(1,0,2,0)T，则方程组A*x?0的基础解系为（ C ）.

（A）?1,?2,?3. （B）?1??2,?2??3,?3??1.

（C）?2,?3,?4. （D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.

22?1???0?T??0,?1?2?3?0. 由Ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)?2????0?因此（A），（B）中向量组均为线性相关的，而（D）显然为线性相关的，因此答案为（C）.由可得?1,?2,?3,?4均为A*x?0的解. 10.设A是n阶矩阵，