精心整理 f（x）=
（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义． 【考点】5B：分段函数的应用．
【专题】12：应用题；33：函数思想；4C：分类法；51：函数的性质及应用． 【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可； （2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时， f（x）=2x+﹣90＞40， 即x2﹣65x+900＞0， 解得x＜20或x＞45， ∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x≤30时， g（x）=30?x%+40（1﹣x%）=40﹣当30＜x＜100时， g（x）=（2x+﹣90）?x%+40（1﹣x%）=﹣x+58； ； ∴g（x）=； 当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减； 当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增； 说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 20．（16分）（2024?上海）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
（1）用t表示点B到点F的距离；
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（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；
（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积； （3）设P及E点坐标，根据直线kPF?kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据求得E点坐标，则（）2=8（+6），即可求得P点坐标． t）， +=
，
【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2则|BF|=∴|BF|=t+2； 方法二：由题意可知：设B（t，2t）， =t+2， 由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2； （2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1， ∴|AQ|=D（，
，∴Q（3，）， ），设OQ的中点D， kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2）， 联立
，整理得：3x2﹣20x+12=0，
解得：x=，x=6（舍去）， ∴△AQP的面积S=×（3）存在，设P（
×=
；
，m），则kPF=
=
，kFQ=
，
，y），E（
精心整理 直线QF方程为y=
（x﹣2），∴yQ=
（8﹣2）=
，Q（8，
），
根据+=，则E（+6，），
∴（）2=8（+6），解得：y2=
，
）．
∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
21．（18分）（2024?上海）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有|bn﹣an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”． （1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn=an+1+1，n∈N*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由； （2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m； （3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合． 【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得an﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）数列{bn}与{an}接近． 理由：{an}是首项为1，公比为的等比数列， 可得an=则|bn﹣an|=|
，bn=an+1+1=+1﹣
+1， |=1﹣
＜1，n∈N*，
可得数列{bn}与{an}接近；
（2）{bn}是一个与{an}接近的数列， 可得an﹣1≤bn≤an+1，
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数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，
可得b1∈[0，2]，b2∈[1，3]，b3∈[3，5]，b4∈[7，9]，
可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等， 集合M={x|x=bi，i=1，2，3，4}， M中元素的个数m=3或4；
（3）{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 可得an=a1+（n﹣1）d，
①若d＞0，取bn=an，可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ②若d=0，取bn=a1﹣，则|bn﹣an|=|a1﹣﹣a1|=＜1，n∈N*， 可得bn+1﹣bn=﹣＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1， 则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意； ④若d≤﹣2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 即为an﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1， 可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）=2+d≤0， b2﹣b1，b3﹣b2，…，b201﹣b200中无正数，不符合题意． 综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）． 【点评】本题考查新定义“接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 感恩和爱是亲姐妹。有感恩的地方就有爱，有爱的地方就有感恩。一方在哪里，另一方迟早会出现。你做一切都是为自己做，为存在而感恩。精心整理
“人要经历一个不幸的抑郁症的或自我崩溃阶段。在本质上，这是一个昏暗的收缩点。每一个文化创造者都要经历这个转折点，他要通过这一个关卡，才能到达安全的境地，从而相信自己，确信一
个更内在、更高贵的生活。” ——黑格尔
2024年上海高考数学真题及答案
