中考数学一轮复习 一元二次方程根与系数的关系
知识考点：
掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。 精典例题：
【例1】关于x的方程2x?kx?4?10的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k＝ 。 分析：设另一根为x1，由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组，解之即得。 答案：
25，－1 22【例2】x1、x2是方程2x?3x?5?0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）x1?x2 （2）x1?x2 （3）x1?3x2?3x2
22221 41 （2）x1?x2＝(x1?x2)2?4x1x2＝3
211222 （3）原式＝(x1?x2)?(2x2?3x2)＝7?5＝12
442略解：（1）x1?x2＝(x1?x2)?2x1x2＝722【例3】已知关于x的方程x?2(m?2)x?m?5?0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m的值。
分析：有实数根，则△≥0，且x1?x2?x1x2?16，联立解得m的值。 略解：依题意有：
2222?x1?x2??2(m?2)?2?x1x2?m?5 ?2 2?x1?x2?x1x2?16???4(m?2)2?4(m2?5)?0?由①②③解得：m??1或m??15，又由④可知m≥?∴m??15舍去，故m??1 探索与创新：
【问题一】已知x1、x2是关于x的一元二次方程4x?4(m?1)x?m?0的两个非零实数根，问：x1与x2能否同号？若能同号请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。
略解：由???32m?16≥0得m≤
229 4112。x1?x2??m?1，x1x2?m≥0 24 ∴x1与x2可能同号，分两种情况讨论：
用心 爱心 专心 - 1 -
（1）若x1＞0，x2＞0，则? ∴m≤
?x1?x2?0，解得m＜1且m≠0
?x1x2?01且m≠0 2（2）若x1＜0，x2＜0，则? 综上所述：当m≤
?x1?x2?01，解得m＞1与m≤相矛盾
2?x1x2?01且m≠0时，方程的两根同号。 22【问题二】已知x1、x2是一元二次方程4kx?4kx?k?1?0的两个实数根。 （1）是否存在实数k，使(2x1?x2)(x1?2x2)??（2）求使
3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 2x1x2??2的值为整数的实数k的整数值。 x2x1略解：（1）由k≠0和△≥0?k＜0 ∵x1?x2?1，x1x2?k?1 4k2 ∴(2x1?x2)(x1?2x2)?2(x1?x2)?9x1x2 ?? ∴k?k?93?? 4k29，而k＜0 5 ∴不存在。
x1x2(x1?x2)244??2＝（2），要使?的值为整数，而k为整数，k?1只能取±1、?4＝?x2x1k?1k?1x1x2±2、±4，又k＜0
∴存在整数k的值为－2、－3、－5
跟踪训练： 一、填空题：
1、设x1、x2是方程x?4x?2?0的两根，则①
＝ 。
2、以方程2x?x?4?0的两根的倒数为根的一元二次方程是 。 3、已知方程x?mx?45?0的两实根差的平方为144，则m＝ 。
4、已知方程x?3x?m?0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 。 5、反比例函数y?222211?＝ ；②x1?x2 ＝ ；③(x1?1)(x2?1)x1x2k2的图象经过点P（a、b），其中a、b是一元二次方程x?kx?4?0 的两根，那么点P的x用心 爱心 专心
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坐标是 。
26、已知x1、x2是方程x?3x?1?0的两根，则4x1?12x2?11的值为 。
2二、选择题：
1、如果方程x?mx?1的两个实根互为相反数，那么m的值为（ ） A、0 B、－1 C、1 D、±1
2?b?2、已知ab≠0，方程ax?bx?c?0的系数满足???ac，则方程的两根之比为（ ）
?2?22 A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3
23、已知两圆的半径恰为方程2x?5x?2?0的两根，圆心距为3，则这两个圆的外公切线有（ ）
A、0条 B、1条 C、2条 D、3条 4、已知，在△ABC中，∠C＝90，斜边长7根，则△ABC的内切圆面积是（ ） A、4? B、
0
112，两直角边的长分别是关于x的方程：x?3(m?)x?9m?0的两个22379? C、? D、? 244225、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程：x?(2m?1)x?m?3?0的根，则m的值为（ ）
A、－3 B、5 C、5或－3 D、－5或3 三、解答题：
1、证明：方程x?1997x?1997?0无整数根。
22、已知关于x的方程x?3x?a?0的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程(k?1)x?3x?2a?0有实根，
22且k为正整数，求代数式
k?1的值。 k?2223、已知关于x的方程x?(1?2a)x?a?3?0……①有两个不相等的实数根，且关于x的方程
x2??2x?2a?1?0……②没有实数根，问：a取什么整数时，方程①有整数解？
4、已知关于x的方程x?2(m?1)x?m?3?0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且(x1?x2)?(x1?x2)?12?0，求m的值。
5、已知关于x的方程kx?(2k?1)x?k?1?0只有整数根，且关于y的一元二次方程(k?1)y?3y?m?0的两个实数根为y1、y2。
（1）当k为整数时，确定k的值。
用心 爱心 专心
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