二次幂平均的轨迹

二次幂平均的轨迹

刘黎明;熊忠银

【期刊名称】《中学数学》 【年(卷),期】2000(000)012

【摘要】在文[1]中作者尹在端老师作了如下猜测:如图1,过定○·Q外的定点P作○·Q的切线PT1、PT2,T1、T2是切点.PAB是○·Q的任一割线,点M在AB上,且PM=12(PA2+PB2),则点M的轨迹是“经过T1、T2的一条弧,但对圆心位置等尚未找到正确的结论”.其实,点M的轨迹经过T1、T2两点,但不是一条圆弧.下面用解析法求出点M的解析式.图1 图2如图2,以点P为原点,直线PQ为x轴建立直角坐标系.设Q(t,0),○·Q的半径为r,割线PAB的解析式为y=kx,A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x,y).显然,○·Q的方程是(x-t)2+y2=r2,将y=kx代入上式整理得(1+k2)x2-2tx+t2-r2=0,∴ x1+x2=2t1+k2,x1x2=t2-r21+k2.从而

x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4t2(1+k2)2-2(t2-r2)1+k2.∵

且

点

A

、

B

在

y=kx

上

,∴

PM2=12(PA2+PB2),

x2+y2=12(x21+y21+x22+y22)=12(x21+k2x21+x22+k2x22)=12(1+k2)(x21+x22).故 x2+y2... 【总页数】1页(P.) 【关键词】

【作者】刘黎明;熊忠银

【作者单位】湖北荆门市长林中学 【正文语种】英文 【中图分类】G63