令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值为1或4.(10分)
??x＝2t，
B．将直线l的参数方程为?化为普通方程为x＋2y＋4＝0.(2分)
?y＝－2－t?
π
θ＋?化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y将圆C的极坐标方程ρ＝42cos??4?＋2)2＝8，其圆心(2，－2)，半径为22，(5分) |2－4＋4|2
所以圆心C到直线l的距离d＝＝，
55
所以直线l被圆C截得的弦长为 2
2?2125?（22）－＝.(10分)
5?5?
2
22. (1) 因为正方形ABCD的边长为2，
所以AB⊥AD，CB⊥CD，AB＝AD＝CD＝BC＝2. 又AE⊥平面ABD，
所以以点A为原点，AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
过点C作CF⊥BD，垂足为F.
因为平面ABD⊥平面CBD，CF?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以CF⊥平面ABD. 因为CB＝CD＝2，
所以F为BD的中点，CF＝2.(2分) 因为AE＝2，
所以E(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)，C(1，1，2)， →→
所以DE＝(0，－2，2)，BC＝(－1，1，2)， →→所以DE·BC＝0， →→所以DE⊥BC，
π
所以直线DE与直线BC所成的角为.(5分)
2
(2) 设AE的长度为a(a>0)，则E(0，0，a)． 因为AD⊥平面ABE,
所以平面ABE的一个法向量为n1＝(0，1，0)．(6分) 设平面BDE的法向量为n2＝(x1，y1，z1)． →→
因为BE＝(－2，0，a)，BD＝(－2，2，0)， →→
所以n2⊥BE，n2⊥BD，
→?BE＝－2x1＋az1＝0，?n2·
所以?
→?BD＝－2x1＋2y1＝0，?n2·
a??x1＝2z1，
解得?取z1＝2，则x1＝y1＝a，
??x1＝y1，
所以平面BDE的一个法向量为n2＝(a，a，2)，(8分)
aan1·n2所以cos〈n1，n2〉＝＝22＝. |n1||n2|a＋a＋4×12a2＋4π
因为二面角ABED的大小为，
3所以
a1
＝，解得a＝2， 2a2＋42
所以AE的长度为2.(10分)
23. (1) 设点P(x，y)，则Q(－2，y)， →→
所以OP＝(x，y)，OQ＝(－2，y)． →→因为OP·OQ＝0，
→→所以OP·OQ＝－2x＋y2＝0，即y2＝2x.(2分)
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直线BD与x轴交点为E，直线AB与内切圆的切点为T.
??x＋1?，?y＝k1k2222??2??设直线AM的方程为y＝k?x＋2?，则联立方程组?得kx＋(k－2)x＋＝0，
4
??y2＝2x，
1
所以x1x2＝且0 41 所以x1< 2 所以直线AN的方程为y＝ y1?1?x－， 1?2?x1－ 2 112222 与方程y2＝2x联立得y21x－(y1＋2x1－2x1＋)x＋y1＝0， 24 1?12x2化简得2x1x2－?1＋x＋x1＝0， 2?2?1 解得x＝或x＝x1. 4x11 因为x3＝＝x2， 4x1 所以BD⊥x轴， 设△MBD的内切圆圆心为H，则点H在x轴上且HT⊥AB.(5分) 1 令t＝x2＋，则t>1， 2所以r＝ 1 在区间(1，＋∞)上单调递增，则r>， 1112＋1＋2＋2t－1tt 1 即r的取值范围为(2－1，＋∞)．(10分)
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(Word版,含答案)
