2019届高三第一次模拟考试
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．
???1?x?
1. 已知集合M＝{－2，－1，0}，N＝?x2>2?，则M∩N＝________．
?????
2. 已知i是虚数单位，且复数z满足(1＋i)z＝2，则|z|＝________．
3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． Read x
If x≥0 Then y←sin x Else
y←x2－1 End If
Print y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为________．
5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y为3，则输入值x为________．
6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a，乙抽出的卡片上的数字记为b，则a与b的积为奇数的概率为________．
7. 若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则两平行直线l1，l2间的距离为________． 8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________．
x2y2
9. 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为
ab________．
→→
10. 已知直线l：y＝－x＋4与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1相交于P，Q两点，则CP·CQ＝________. 11. 已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为________． ππ
asin＋bcos7710πb
12. 设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．
ππ21aacos－bsin
77
4
13. 已知函数f(x)＝a＋3＋－|x＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数
xa的值为________．
eyx
14. 若存在正实数x，y，z满足3y2＋3z2≤10yz，且ln x－ln z＝，则的最小值为________．
zy
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)
已知函数f(x)＝cos2x＋23sin xcos x－sin2x，x∈R. (1) 求函数f(x)的单调增区间；
(2) 求方程f(x)＝0在(0，π]上的所有解．
16. (本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．求证：
(1) EF∥平面ABC； (2) BB1⊥AC.
17. (本小题满分14分) 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中AB＝3百米，AD＝5百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修π?建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈??2，π?.
(1) 当cos θ＝－
5
时，求小路AC的长度； 5
(2) 当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．
18. (本小题满分16分)
x2y21
在平面直角坐标系xOy中，椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A、
ab2B，线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分
别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
(1) 若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；
→→
(2) 直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且AC＝λAQ，求λ的取值范围．
19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)． (1) 求函数f(x)的极值；
(2) 若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
f（x）＋g（x）
(3) 若函数h(x)＝在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)
x的极大值小于整数b，求b的最小值．
20. (本小题满分16分)
记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn＝
Mn＋mn，数列{an}的前n2
项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn.
(1) 若数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn；
(2) 若数列{bn}是等差数列，试问数列{an}是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；
(3) 若bn＝2n－100n，求An.
2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
1??a?1?＝?6?，求矩阵A的特征值．
已知矩阵A＝? ，满足A?????
?b2??3??8?
B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
??x＝2t，
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)．在极坐标系中(与直角坐标
??y＝－2－t
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合)，圆C的极坐标方程为π
θ＋?，求直线l被圆C截得的弦长． ρ＝42cos??4?
22. (本小题满分10分)
如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，又AE⊥平面ABD.
(1) 若AE＝2，求直线DE与直线BC所成的角； π
(2) 若二面角ABED的大小为，求AE的长度．
3
23. (本小题满分10分)
→→
已知直线x＝－2上有一动点Q，过点Q作直线l1垂直于y轴，动点P在l1上，且满足OP·OQ＝0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的方程；
11
－，0?，N?，0?，A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点(2) 已知定点M??2??2?A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求△MBD的内切圆半径r的取值范围．
2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)
数学参考答案
1. {－2} 2. 2 3. 7. 13.
22π4
4. 10 5. －2 6. 39
55
8. 1 9. 10. 0 11. (－∞，9] 12. 3 221133或－1－ 14. e2 62
π
2x＋ ?. (4分) 15. f(x)＝cos2x＋23sin xcos x－sin2x＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?6??πππ
(1) 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z ，
262ππ
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
36
ππ
所以函数f(x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.(8分)
36
π
2x＋?＝0， (2) 由f(x)＝0得2sin?6??ππkπ
解得2x＋＝kπ，即x＝－＋，k∈Z.
6122因为x∈(0，π]，
5π11π
所以x＝或x＝.(14分)
1212
16. (1) 因为三棱柱ABCA1B1C1，
所以四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形． 因为E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点， 所以E，F分别是AB1，CB1的中点 ， 所以EF∥AC.(4分)
因为EF?平面ABC，AC?平面ABC， 所以EF∥平面ABC.(8分)
(2) 因为四边形AA1B1B为矩形， 所以BB1⊥AB.
因为平面AA1B1B⊥平面ABC，BB1?平面ABB1A1，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB， 所以BB1⊥平面ABC.(12分) 因为AC?平面ABC， 所以BB1⊥AC.(14分)
17. (1) 在△ABD中，由BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos θ，得BD2＝14－65cos θ， 又cos θ＝－
5， 5
所以BD＝25.(2分) π?
因为θ∈??2，π?， 所以 sin θ＝1－cos θ＝由得
BDAB
＝，
sin ∠BADsin ∠ADB253
＝， 2sin ∠ADB5
25?22?1－－＝. ?5?5
3
解得sin ∠ADB＝. 5
因为△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形， π
所以∠CDB＝且CD＝BD＝25，
2π
∠ADB＋?＝ 所以cos ∠ADC＝cos?2??3
－sin ∠ADB＝－.(5分)
5
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷（Word版，含答案）
