www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第6章 自相关
6.1 复习笔记
考点一：什么是自相关 ★★★
1．自相关的概念
自相关又称序列相关，是指总体回归模型的随机误差项ui之间存在相关关系的一种现象。在古典假定中假设随机误差项是无自相关的，即：Cov（ui，uj）＝E（uiuj）＝0（i≠j）。如果该假定不能满足，就称ui与uj存在自相关，即不同观测点上的误差项彼此相关。
自相关系数可用来表示自相关的程度。随机误差项ut与滞后一期的ut－1的自相关系数ρ的计算公式为：
???uut?2ntt?1n?ut?2n2t2u?t?1t?2
式中ut－1是ut滞后一期的随机误差项，因此上式计算的自相关系数ρ称为一阶自相关系数。
自相关系数ρ的取值范围为－1≤ρ≤1。如果ρ＜0，则ut与ut－1间存在负相关关系；如果ρ＞0，则ut与ut－1间存在正相关关系；如果ρ＝0，则ut与ut－1不相关。
1 / 41
www.100xuexi.com
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2．自相关产生的原因（见表6-1）
表6-1 自相关产生的原因
自相关关系主要存在于时间序列数据中，但是在横截面数据中也可能会出现，通常称横截面数据中出现的自相关为空间自相关。多数经济时间序列在较长时间内都表现为上升或下降的趋势，因此大多表现为正自相关。但就自相关本身而言，既有正相关也有负相关。
3．自相关的表现形式 （1）一阶自相关
随机误差项的一阶自相关形式为：ut＝ρut－1＋vt（－1＜ρ＜1）。其中，ρ为自相关系数；vt为满足古典假定的误差项，即E（vt）＝0，Var（vt）＝σ2，Cov（vt，vt＋s）＝0，s≠0。一阶自回归形式记为AR（1），相应的式中的ρ称为一阶自相关系数。
（2）m阶自相关
如果一阶自相关中的随机误差项vt是不满足古典假定的误差项，即vt中包含有ut的成分，如包含有ut－2，…，ut－m的影响，则需将ut－2，…，ut－m包含在回归模型中，即：ut
2 / 41
www.100xuexi.com 自回归形式，记为AR（m）。
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ＝ρ1ut－1＋ρ2ut－2＋…＋ρmut－m＋vt。其中，vt为满足古典假定的误差项。称上式为m阶
此外，自相关的形式可能为移动平均形式，记为MA（n），还可能为更复杂的移动平均自回归形式，记为ARMA（m，n），这些是时间序列分析的专题内容，本书不作讨论。
考点二：自相关的后果 ★★★★
1．一阶自回归形式的性质
以一元线性回归模型为例，对于Yt＝β1＋β2Xt＋ut，假定随机误差项ut存在一阶自相关，即ut＝ρut－1＋vt。其中，ut为当期随机误差；ut－1为前期随机误差；vt为满足古典假定的误差项，即vt满足零均值E（vt）＝0，同方差Var（vt）＝σ2，无自相关E（vtvs）＝0（t≠s）的假定。由于随机误差项ut不可观测，所以只能用样本回归模型的残差et去估计自相关系数。
大样本下，存在∑et2≈∑et－12，ρ的OLS估计式为：
????ee?e?ett?12t2t?1ee???ett?12t?1
将随机误差项ut的各期滞后项ut－1＝ρut－2＋vt－1，ut－2＝ρut－3＋vt－2，…逐次代入一阶自相关表达式中可得下式：
ut?vt??vt?1??2vt?2?L???rvt?rr?0?
上式表明随机误差项ut可表示为独立同分布的随机误差序列vt，vt－1，vt－2，…的加权和，权重分别为1，ρ，ρ2，…。当0＜ρ＜1时，这些权数随时间推移而呈几何衰减；而当
3 / 41
www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 －1＜ρ＜0时，这些权数随时间推移而交错振荡衰减。
在随机误差项ut存在一阶自相关时，可推得下面两式成立：
E?ut????rE?vt?r??0
r?02?2vVar?ut????2rVar?vt?r????u 21??r?0??这表明随机误差项ut存在一阶自相关时，依然满足零均值、同方差的假定。
由于当期的随机误差项vt并不影响回归模型中随机误差项ut的以前各期值ut－（，kk＞0）所以vt与ut－k不相关，即存在E（vtut－k）＝0。因此，随机误差项ut与其以前各期ut－k的协方差分别为：
Cov?ut,ut?1????utut?1???????ut?1?vt?ut?1?? ????ut2?1????vtut?1????u2 ???1??2v2
Cov?ut,ut?2????utut?2???????ut?1?vt?ut?2??222? ????u??v?vu???u???t?2t?1tt?2?t?2???? ?1??以此类推，可得：
22v2
k2??vCov?ut,ut?k???kVar?ut?k??1??2
这些协方差分别称为随机误差项ut的一阶自协方差、二阶自协方差和k阶自协方差，这些自协方差均不为零，这正是存在自相关的含义。
4 / 41
www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2．自相关对参数估计的影响
（1）对一元线性回归模型Yt＝β1＋β2Xt＋ut，因为无偏性的证明并不需要满足无自相关的假定，因此即使随机误差项ut存在自相关，β2依然是无偏的，即E（β2）＝β2仍成立。
（2）可以证明OLS估计式的方差为：
n?1?xtxt?1?2??u?1?2?t?1n?n?2?22?2xx??t?tt?1t?1?∧
∧
?Var?2???xxt?1nt?1n?2tt?22x?t??n?1x1xn??L?2?n2?x?t?t?1?
当随机误差项无自相关，即ρ＝0时，上式等价于经典假定下普通最小二乘估计的方差Var（β2）＝σ2/∑xi2；当存在正的自相关时，即ρ＞0，对所有的j都有ρj＞0，另外回归模型中的解释变量在不同时期通常也呈正相关，因此存在序列正相关时方差将大于经典假定下的方差。可以证明，当存在自相关时，OLS估计量不再是最佳线性无偏估计量，即它不再满足有效性这一性质。
（3）当随机误差项ut无自相关时，可知σ2＝∑et2/（n－2）是ut的方差σ2的无偏估计。但是，如果随机误差项ut存在一阶自相关，可以证明下式成立：
∧
∧
??xtxt?1?2E??e?????n?2???2??2?2?x??t??2t2?xx?xtt?22t?L+2?n?1?xx?xt2tn????????
当ut及Xt都是正自相关时，圆括号内的值为正值，∑et2的值就会降低。因此如果继续用σ2＝∑et2/（n－2）去估计ut的方差σ2，将会低估真实的σ2，将使得参数估计值的方差被进一步低估。
5 / 41
∧
庞皓《计量经济学》笔记和课后习题详解(自相关)【圣才出品】
