矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?AX?B有解
?r(?1,?2,???,?n)=r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n).
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.
向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两
向量组等价；p教材94,例10
? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A是m?n矩阵,若r(A)?m，A的行向量线性无关；
若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：?1,?2,???,?n线性无关. √ 矩阵的秩的性质：
①若A?O?r(A)≥1 若A?O?r(A)?0 0≤r(Am?n)≤
min(m,n) ②r(A)?r(AT)?r(ATA)
③r(kA)?r(A) 若k?0
p教材101,例15
?r(A)?r(B)?n ④若Am?n,Bn?s,若r(AB)?0??
B的列向量全部是Ax?0的解? ⑤r(AB)≤min?r(A),r(B)?
⑥
若A可逆?r(AB)?r(B)若B可逆?r(AB)?r(A) 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
??Ax?? 只有零解???r(AB)?r(B) ⑦若r(Am?n)?n??；
???A在矩阵乘法中有左消去律?AB?O?B?O????AB?AC?B?C??6 / 7
若r(Bn?s)?n???r(AB)?r(B)
?B在矩阵乘法中有右消去律.?Er?OO??Er等价，称??O??OO??为矩阵A的等价标准型. O?⑧若r(A)?r?A与唯一的?⑨r(A?B)≤r(A)?r(B) max?r(A),r(B)?≤r(A,B)≤r(A)?r(B)
⑩r??AO???OB????O?B
A?O???r(A)?r(B) 7 / 7
r??AC???r(A)?OB?r(B)
?p教材70
历史上最全线性代数性质定理公式全总结
