概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确
?A可逆 ??r(A)?n ?A的列（行）向量线性无关 ??A的特征值全不为0 ??Ax??只有零解 ? ?x??，Ax?? A?0??n????R,Ax??总有唯一解 ?ATA是正定矩阵 ??A?E ?A?pp???p p是初等阵12si???存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.
?A不可逆 ?r(A)?n ??A?0??A的列（行）向量线性相关
?0是A的特征值 ???Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n ?注 aE?bA????(aE?bA)x??有非零解
??=-a b?向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似(:)?矩阵合同(;)??√ 关于e1,e2,???,en： ①称为?n的标准基，?n中的自然基，单位坐标向量p教材87；
②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
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行列式的定义 Dn?a11a21a12La22La1na2nMannMMan1an2L?j1j2Ljn?(?1)?(j1j2Ljn)a1j1a2j2Lanjn
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.个人收集整理 勿做商业用途 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
AO②若A与B都是方阵（不必同阶）,则
OB=A?OB?AO?B?AB（拉普拉斯展开式）
OA?A=?(?1)mnABBOBO③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?④关于副对角线：
a1na2n?1N?OOa2n?1Nan1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2nKan1 （即：所有
an1取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）
1x1⑤范德蒙德行列式：x12Mx1n?11x22x2Mn?1x2LLLL1xn2???xi?xj? xn1?j?i?nMn?1xn?a11a12L?a21a22L矩阵的定义 由m?n个数排成的m行n列的表A???MM??am1am2Lm?n矩阵.记作：A?aija1n??a2n?称为?M?amn???m?n或Am?n
伴随矩阵 A?Aij*??T?A11A21L?AA22L??12?MM??A1nA2nLAn1??An2?，Aij为A中各个元素的代数余子式. ?M?Ann?√ 逆矩阵的求法:
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主L换位?ab?1?d?b?A??1注： ① A? ○ ?????cd?caad?bcA副L变号????E)?????(EMA?1) ②(AM初等行变换?1③
?a1?a2?11?a??1???1a??? ???a?2?a3量；个人收集整理个人收集整理??2?a???3???1?a?3?a?111??a3????1????a2? ?????1a?1?√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn
√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s， 则
??b11b12Lb1s?AB?Cb?2sm?s???b21b22L1,?2,???,?n???MMM????c1,c2,L,cs??A?i?ci??bn1bn2Lb?ns?(i?1,2,L,s)??i为Ax?ci的解
?A??1,?2,???,?s???A?1,A?2,???,A?s???c1,c2,L,cs??c1,c2,L,cs可由
?1,?2,???,?n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵.
同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为系数矩阵.
??a11a12La1n??a???1????c1????a11?1?a12?2?L?a1n?2?c1即： ?a21a22L2n????2???c2????a21?1?a22?2?L?a2n?2?c2?MMM??M??M? ?an1an2La????????c??LLLmnn?m???am1?1?am2?2?L?amn?2?cm√ 用对角矩阵?○左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
行向
勿做商业用途 √用对角矩阵?○右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
列向量.
勿做商业用途 3 / 7
√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.
?AB??AT√ 分块矩阵的转置矩阵：????T?CD??B?A?1?A?分块矩阵的逆矩阵：????B????A?1?AC?????OB???O?1?1TCT? T?D?A?????1???A?1?? ??B?1??B?1B?1?? ??A?1A?1CB?1?O??AO?? ?? ????1?1CBB??BCAB????分
块
对
角
阵
相乘A???A11???nn???A??,B???B11B??AB???A11B1122?22??A?,A??A1122B22??An? 22?*分
块
对
角
阵
的
伴
随
矩阵：
??A???B?BA*?????*?A?B???B?(?1)mnA??????(?1)mnBA??? ?√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B
(I)的解法：构造(AMB)????初等行变换?(EMX)
(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT， 用(I)的方法求出XT
，再转置得X① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n；
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：
?AB*?? m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n.
⑨ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法唯
一.
⑩ 矩阵的行向量组的秩?列向量组的秩?矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是
0时，称为行最简形矩阵个人收集整理 勿做商业用途 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A；个人收集整理 勿做商业用途 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A.个人收集整理 勿做商业用途 矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r?1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作
○○
○○
r(A)?r
向量组的秩 向量组?1,?2,L,?n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作
r(?1,?2,L,?n)
矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?%B
向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n??%??1,?2,???,?n? ? 矩阵A与B等价?PAQ?B，P,Q可逆?r(A)?r(B),A,B为同型矩阵??A,B作为向量组等
价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩
阵
A与
B作为向量组等价
?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)?
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历史上最全线性代数性质定理公式全总结
