甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：??＝????+??(??≠0)，
5??+??=50035
35将(5,?500)和(,?800)代入得：{ ，
4??+??=800
4
??=80
解得{ ，
??=100
∴ ??＝80??+100，
答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程??(????)与所用时间??(?)之间的函数解析式为??＝80??+100(5≤??≤
354
)；
354
甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800?80×40÷(100?80)＝2(?)，
即出发2?时，甲、乙两车第一次相距40????． 故答案为：100；2．
=100(????)，
综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现：
对折矩形纸片????????，使????与????重合，得到折痕????，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点??落在????上的点??处，并使折痕经过点??，得到折痕????，把纸片展平，连接????，如图①．
（1）折痕???? 是 （填“是”或“不是”）线段????的垂直平分线；请判断图中△??????是什么特殊三角形？答：________；进一步计算出∠??????＝________°；
（2）继续折叠纸片，使点??落在????边上的点??处，并使折痕经过点??，得到折痕????，把纸片展平，如图②，则∠??????＝________°； 拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片????????，使点??落在????边上的点??′处，并且折痕交????边于
试卷第16页，总20页
点??，交????边于点??，把纸片展平，连接????′交????于点??，连接????． 求证：四边形????????′是菱形． 解决问题：
（4）如图④，矩形纸片????????中，????＝10，????＝26，折叠纸片，使点??落在????边上的点??′处，并且折痕交????边于点??，交????边于点??，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段????的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值________． 【答案】
等边三角形,60 15
∵ 折叠矩形纸片????????，使点??落在????边上的点??′处， ∴ ????垂直平分????′，
∴ ????＝??′??，????′⊥????， ∵ ?????//?????，
∴ ∠??????＝∠????′??，∠??????＝∠??′????， ∴ △???????△??′????(??????) ∴ ????＝????，
∴ 四边形??????′??是平行四边形， 又∵ ????′⊥????，
∴ 边形????????′是菱形； 7，9
【考点】 四边形综合题 【解析】
（1）由折叠的性质可得????＝????，????＝????，∠??????＝90°，????垂直平分????，∠??????＝∠??????＝90°，可证△??????是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
（2）由折叠的性质可得∠??????＝∠??????＝45°，可求解；
（3）由折叠的性质可得????＝??′??，????′⊥????，由“??????”可证△???????△??′????，可得????＝????，由菱形的判定可证四边形????????′是菱形； （4）先求出????的范围，即可求解． 【解答】
如图①∵ 对折矩形纸片????????，使????与????重合， ∴ ????垂直平分????，
∴ ????＝????，????＝????，∠??????＝90°，
∵ 再一次折叠纸片，使点??落在????上的点??处， ∴ ????垂直平分????，∠??????＝∠??????＝90°， ∴ ????＝????，
∴ ????＝????＝????，
∴ △??????是等边三角形， ∴ ∠??????＝60°， ∴ ∠??????＝30°， ∴ ∠??????＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
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∵ 折叠纸片，使点??落在????边上的点??处， ∴ ∠??????＝∠??????＝45°，
∴ ∠??????＝∠???????∠??????＝15°， 故答案为：15°；
∵ 折叠矩形纸片????????，使点??落在????边上的点??′处， ∴ ????垂直平分????′，
∴ ????＝??′??，????′⊥????， ∵ ?????//?????，
∴ ∠??????＝∠????′??，∠??????＝∠??′????， ∴ △???????△??′????(??????) ∴ ????＝????，
∴ 四边形??????′??是平行四边形， 又∵ ????′⊥????，
∴ 边形????????′是菱形；
∵ 折叠纸片，使点??落在????边上的点??′处， ∴ ????＝??′??，
在????△??′????中，??′??>????， ∴ ????>10?????， ∴ ????>5， ∵ 点??在????上，
∴ 当点??与点??重合时，????有最大值为10， ∴ 5
∴ 正确的数值为7，9， 故答案为：7，9．
综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线??=??2+????+??经过点??(?4,?0)，点??为抛物线的顶点，
21
点??在??轴上，且????＝????，直线????与抛物线在第一象限交于点??(2,?6)，如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线????的函数解析式为________，点??的坐标为________，cos∠??????＝________； 连接????，若过点??的直线交线段????于点??，将△??????的面积分成1:2的两部分，则点??的坐标为________；
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（3）在??轴上找一点??，使得△??????的周长最小．具体作法如图②，作点??关于??轴的对称点??′，连接????′交??轴于点??，连接????、????，此时△??????的周长最小．请求出点??的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点??，使以点??、??、??、??为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点??的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】
1
将点??、??的坐标代入抛物线表达式得：{21
2
×16?4??+??=0
??=2
，解得{ ，
??=0×4+2??+??=6
故直线????的表达式为：??=??2+2??；
2
1
??＝??+4,(?2,??2),2,(?2,?2)或(0,?4)
△??????的周长＝????+????+????＝????+??′??最小，
点??′(4,?0)，
4??+??=03
设直线??′??的表达式为：??＝????+??，则{ ，解得{4 ， ?2??+??=?2??=?
3
√2??=
1
故直线??′??的表达式为：??=3???3， 令??＝0，则??=?，故点??(0,??)；
3
3
4
4
14
存在，理由：
设点??(??,???)，而点??、??、??的坐标分别为(?4,?0)、(2,?6)、(0,?0)， ①当????是边时，
点??向右平移6个单位向上平移6个单位得到点??，同样点??(??)右平移6个单位向上平移6个单位得到点??(??)，
即0±6＝??，0±6＝??，解得：??＝??＝±6， 故点??(6,?6)或(?6,??6)； ②当????是对角线时，
由中点公式得：?4+2＝??+0，6+0＝??+0， 解得：??＝?2，??＝6， 故点??(?2,?6)；
综上，点??的坐标为(6,?6)或(?6,??6)或(?2,?6)．
【考点】
二次函数综合题 【解析】
（1）将点??、??的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）点??(?4,?0)，????＝????＝4，故点??(0,?4)，即可求出????的表达式；????将△??????的面积分成1:2的两部分，则????=3????或3????，即可求解；
(3)△??????的周长＝????+????+????＝????+??′??最小，即可求解； （4）分????是边、????是对角线两种情况，分别求解即可．
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1
2
【解答】
1
将点??、??的坐标代入抛物线表达式得：{21
2
×16?4??+??=0
??=2
，解得{ ，
??=0×4+2??+??=6
故直线????的表达式为：??=??2+2??；
2
1
点??(?4,?0)，????＝????＝4，故点??(0,?4)，
由点??、??的坐标得，直线????的表达式为：??＝??+4； 则∠??????＝45°，故cos∠??????=
1
√2； 2
对于??=2??2+2??，函数的对称轴为??＝?2，故点??(?2,??2)； ????将△??????的面积分成1:2的两部分，则????=3????或3????，
??
则????=33，即6=33，解得：????＝2或4， ??
12
??12??12
故点??(?2,?2)或(0,?4)；
故答案为：??＝??+4；(?2,??2)；；(?2,?2)或(0,?4)； △??????的周长＝????+????+????＝????+??′??最小， 点??′(4,?0)，
4??+??=03
设直线??′??的表达式为：??＝????+??，则{ ，解得{4 ， ?2??+??=?2??=?
3
√22
??=
1
故直线??′??的表达式为：??=3???3， 令??＝0，则??=?3，故点??(0,??3)；
存在，理由：
设点??(??,???)，而点??、??、??的坐标分别为(?4,?0)、(2,?6)、(0,?0)， ①当????是边时，
点??向右平移6个单位向上平移6个单位得到点??，同样点??(??)右平移6个单位向上平移6个单位得到点??(??)，
即0±6＝??，0±6＝??，解得：??＝??＝±6， 故点??(6,?6)或(?6,??6)； ②当????是对角线时，
由中点公式得：?4+2＝??+0，6+0＝??+0， 解得：??＝?2，??＝6， 故点??(?2,?6)；
综上，点??的坐标为(6,?6)或(?6,??6)或(?2,?6)．
4
4
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2020年黑龙江省黑河市中考数学试卷
