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1.6 因动点产生的面积问题 例1 2012年菏泽市中考第21题 例2 2012年河南省中考第23题 例3 2011年南通市中考第28题
例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题 例5 2010年广州市中考第25题 例6 2010年扬州市中考第28题 例7 2009年兰州市中考第29题
1.6 因动点产生的面积问题
例 1 2012年菏泽市中考第21题
如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．
（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以
体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．
请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．
思路点拨
1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是 △A′B′O面积的3倍．
2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．
3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．
满分解答
（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x轴交于A′(－1, 0)、B(2, 0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)， 代入B′(0, 2)，得a＝1．
所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2) ＝－x2＋x＋2． （2）S△A′B′O＝1．
如果S四边形PB′A′B＝4 S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3 S△A′B′O＝3． 如图2，作PD⊥OB，垂足为D． 设点P的坐标为 (x，－x2＋x＋2)．
S梯形PB'OD?S?PDB1111DO(B'O?PD)?x(2?x2?x?2)??x3?x2?2x． 22221113?DB?PD?(2?x)(?x2?x?2)?x3?x2?2． 2222所以S四边形PB'A'D?S梯形PB'OD?S?PDB??x2?2x+2． 解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．
所以点P的坐标为(1，2)．
图2 图3 图4
（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．
考点伸展
第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．
S?PB'O?S?PBO11B'O?xP??2x?x． 2211?BO?yP??2(?x2?x?2)??x2?x?2． 22所以S四边形PB'A'D?S?PB'O?S?PBO??x2?2x+2．
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．
例 2 2012年河南省中考第23题
1x?1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，2点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值； （2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
如图1，在平面直角坐标系中，直线y?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．
思路点拨
1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．
2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
（1）设直线y?1x?1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)． 2在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE?5．所以sin?AEO?因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此sin?ACP?25． 525． 5?4a?2b?3?0,将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得?
?16a?4b?3?3.11，b??． 22111（2）由P(m,m2?m?3)，C(m,m?1)，
2221111得PC?(m?1)?(m2?m?3)??m2?m?4．
2222解得a?所以PD?PCsin?ACP?所以PD的最大值为252512595． PC?(?m?m?4)??(m?1)2?5525595． 5（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，m?当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，m?5； 232． 9
图2
考点伸展
第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．
而DN?PDcos?PDN?PDcos?ACP?BM＝4－m．
525121 ?(?m?m?4)??(m?2)(m?4)，
5525195①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．
251011032②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，?(m?2)(m?4)?(4?m)．解得m?．
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