解析几何计算处理技巧
中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．
考点一 回归定义，以逸待劳
回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．
x22
[典例] 如图，F1，F2是椭圆C1：＋y＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象
4限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.2
36
B.3C. D.
22
[解题观摩] 由已知，得F1(－3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a， |AF1|＋|AF2|＝4，??
由椭圆及双曲线的定义和已知，可得?|AF2|－|AF1|＝2a，
??|AF1|2＋|AF2|2＝12，所以双曲线C2的离心率e＝[答案] D [关键点拨]
本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．
[对点训练]
1.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( )
|BF|－1|BF|2－1|BF|＋1|BF|2＋1
A. B.C. D. |AF|－1|AF|2－1|AF|＋1|AF|2＋1
p
2|BF|－1S△BCF|BC|xB解析：选A 由题意可得＝＝＝＝. p|AF|－1S△ACF|AC|xA
|AF|－
2
|BF|－
|PF|
2．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则的最小值为________．
|PA|
2
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y2P＝(xP＋m)＋4mxP，
解得a2＝2，故a＝2.36
＝. 22
则(2|PF|2)＝?xP＋m?＝|PA|?xP＋m?2＋4mxP
111|PF|2
≥＝(当且仅当xP＝m时取等号)，所以≥，4mxP4mxP2|PA|21＋1＋22
?xP＋m??2xP·m?
|PF|2
所以的最小值为.
|PA|2
答案：
2
2
考点二 设而不求，金蝉脱壳
设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．
x2y2
[典例] 已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的
ab中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为( )
x2y2x2y2x2y2x2y2
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 453636272718189[解题观摩] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
??xy
?a＋b＝1，
222222x2y2112＋2＝1，ab
2
①
?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?
①－②得＋＝0， 22ab②
y1－y2b2?x1＋x2?b20＋11b21
所以kAB＝＝－2＝2.又kAB＝＝，所以2＝.又9＝c2＝a2－b2，
a2x1－x2a?y1＋y2?a3－12x2y2
解得b＝9，a＝18，所以椭圆E的方程为＋＝1.
189
2
[答案] D [关键点拨]
(1)本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．
(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．
[对点训练]
x2y2
1．已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C
ab上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
1123A. B. C. D. 3234解析：选A 设OE的中点为G，由题意设直线l的方程为y＝k(x＋a)，
|OG||OB|分别令x＝－c与x＝0得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，由△OBG∽△FBM，得＝，
|FM||FB|
1ka2ac11即＝，整理得＝，所以椭圆C的离心率e＝.
a33k?a－c?a＋c
1x2y2
2．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中
2ab点，则椭圆C的离心率等于________．
?
解析：设A(x，y)，B(x，y)，则?xy
?a＋b＝1，
1
1
2
2
222222x2y2112＋2＝1，ab
?x1－x2??x1＋x2??y1－y2??y1＋y2?
∴＋＝0，
a2b2y1－y2b2x1＋x2y1－y21
∴＝－2·.∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
ay1＋y2x1－x22x1－x2
b21c2
∴－2＝－，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝. a2a2即椭圆C的离心率e＝答案：
2
2
2. 2
考点三 巧设参数，变换主元
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．
常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．
x2y2
[典例] 设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标
ab原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞3.
y＝kx0，??0
[解题观摩] 法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得?x2 y200
＋＝1，22??ab消去y0并整理，得
a2b22
x0＝222.①由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及
ka＋b
y0＝kx0，
－2a222
得(x0＋a)2＋k2x2， 0＝a，整理得(1＋k)x0＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝1＋k2a2(代入①，整理得(1＋k)＝4kb)＋4.又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|
22
2
＞3.
法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．
2
x2k2x0x2k2x20002
由点P在椭圆上，得2＋2＝1.因为a＞b＞0，kx0≠0，所以2＋2＜1，即(1＋k2)x20＜a.② abaa
－2a222由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x2＝a，整理得(1＋k)x＋2ax＝0，于是x＝， 0000
1＋k2
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