初二数学奥林匹克竞赛题及答案
1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；
(2)若AD＝1，BC＝3，DC＝2，试判断△DCF的形状；
(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。
AD E BFC
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.
（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.
①求证：△ABN≌△ADN； ②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离； （2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.
3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动”．
正方形ABCD和点P，P点关于A左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2关于C左转弯运动到P3，P3关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，??． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；
（2）连接P1A、P1B，判断 △ABP1与△ADP之间有怎样的关系？并说明理由。 (3)以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，A、
BP两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P4、P2009、P2010三点的坐标． AO 1 NM图1
PC图2
D4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？
5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
6、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数。
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7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。 3
1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠EFC， ∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
1（2）△DCF是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF= CD，
2∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
1∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴CF= （BC-AD）=1， ∵DC= 2， ∴由勾股定
2理得：DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+2
2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN， ∴△ABN≌△ADN．
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2 3． ∴点M到AD的距离为2 3． ∴AH=2． ∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形． ∴∠CAD=45°． 下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD∥BC， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4． ∴CM=CN． ∴AC=6 2． ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6． 故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．
综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN是等腰三角形。 3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；
（2）△ABP1≌△ADP，且△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得． 理由如下：在△ABP1和△ADP中，
由题意：AB=AD，AP=AP1，∠PAD=∠P1AB， ∴△ABP1≌△ADP，
又∵△ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠PAP1=90°，
∴△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得；
（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P1（-3，3）， 点P1（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P2（-5，3）， 点P2（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P3（-1，1）， 点P3（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1），
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点P4（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P5（-3，3）， 点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，，点P2009的坐标为（-3，3） 点P2010的坐标为（-5，3）． 4、解：（1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2）， 则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20， y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC 111=4+20）（x+4）- ×20x- ×4×4 222=2x+40（0≤x≤16）． 由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72； （3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时，
此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x，
111∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC= （4+20）（36-x）-×20×（32-x）- ×4×4
222=-2x+104（16≤x≤32）． 由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40； 当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72． 解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置， 使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称． 因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况， 便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况． 当x=16时，y取得最大值，且y最大=72， 当x=32时，y取得最小值，且y最小=40． 5、解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形， 可得EF=EO+FO=BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO， 如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3，
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又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证． ∴EF=BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF， ∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形， 在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形， 此时EF=BE-CF，
6、解：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠E=∠ADB．
∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°， ∴∠E=56°． 7、解：OE=OF．
证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD． ∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°， ∴∠AOF=∠EOB． 在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB， ∴△AOF≌△BOE（ASA）． ∴OE=OF．
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初二数学奥林匹克竞赛题及答案
