第五节 指数与指数函数
错误!
知识梳理 一、指数 1．根式．
(1)定义：如果x＝a那么 x叫做a的n次方根(其中n>1，且n∈N)，式子a叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质．
①当n为奇数时，a＝a；当n为偶数时，a②负数没有偶次方根． ③零的任何次方根都是零． 2．幂的有关概念． (1)正整数指数幂：
(2)零指数幂： a＝1(a≠0)．
1－p*
(3)负整数指数幂：a＝p(a≠0，p∈N)．
0
n*
nnnnn??a，a≥0，
＝|a|＝?
??－a，a<0.
a
m(4)正分数指数幂：an＝a(a>0，m，n∈N，且n>1)． (5)负分数指数幂：an＝
－
nm*
m1
amn＝
1
(a>0，m，n∈N，且n>1)．
*
nam(6)零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的性质． (1)aa＝arsrss＋r(a＞0，r， s∈Q)．
(2)(a)＝a(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)＝ab(a＞0，b＞0， r∈Q)． 二、指数函数的定义
形如 y＝a(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是(－∞，＋∞)，值域是(0，＋∞)．
三、指数函数的图象和性质
基础自测
1．化简 (a，b为正数)的结果是( ) A. B．a C. D．B 1854aba3ab3333
＝＝a，故选B. 2424abab3333
xrrrsrbaab解析：原式＝
答案：B
2．函数f(x)＝(a－1)在R上是减函数，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－2,2) C．(－∞，2)
2
x
D．(－2，－1)∪(1，2)
解析：0 xx＋1 －3的值域是________． 解析：定义域为R，因为y＝4x＋2x＋1－3＝(2x)2＋2·2x＋1－4＝(2x＋1)2－4，因为2x＞0，所以(2x＋1)2－4＞1－4＝－3. 所以y＝4x＋2x＋1－3的值域为{y|y＞－3}． 答案：{y|y＞－3} 1 3 1 3 4．若x>0，则(2x4＋32)(2x4－32)－4x2(x－x2)＝______. 解析：(2x4＋32)(2x4－32)－4x－2(x－x2)＝4x2－33－4x2＋4＝－23. 答案：－23 1 3 1 3 1 1 1 1 － 11 1．(2013·北京卷)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e关于y轴对称，则f(x)＝( ) A．x＋1 xe B．e x－1 C．e －x＋1 D．e －x－1 解析：与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到． ∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.故选D. 答案：D 2．已知函数f(x)＝(x－k)e. (1)求f(x)的单调区间； x (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)随x的变化情况见下表： x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek－1 (k－1，＋∞) ＋ ↗ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0 －k，k≤1，?? ＝?－e，1＜k＜2，???1－k?e，k≥2. k－1 综上所述，f(x)min 答案：见解析 1．已知a＝的关系为( ) A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m 5x，函数f(x)＝a，若实数m，n满足f(m)＞f(－n)，则m，n满足2 ?5?x是R上的增函数，实数m，n满足f(m)＞f(－n)，故m＞－n，?2? 即m＋n＞0.故选B. 答案：B 2．若函数f(x)＝e －(x－μ)2 的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝______. 解析：∵函数f(x)＝e－(x－μ)2的最大值是1，∴m＝1.又∵f(x)是偶函数，∴μ＝0.∴m＋μ＝1. 答案：1
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第五节指数与指数函数 理
