习题课（from 1~7）
第四章 信道
4-6
某个信源由A、B、C和D 4个符号组成。设每个符号独立出现，其出现概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16，经过信道传输后，每个符号正确接收的概率为1021/1024，错为其它符号的条件概率P(xi/yj)均为1/1024，试求出该信道的容量C。
解：根据离散信道信道容量的定义，C?max[H(X)?H(X|Y)]。即，以p(x)为变量，取
p(x)H(X)?H(X|Y)的最大值。
H(X|Y)??p(yj)H(X|yj)???p(yj)p(xi|yj)logj?1j?1i?1444441p(xi|yj)41102110241 ??p(yj)?p(xi|yj)log??p(yj)[log?3*log1024] (1) p(xi|yj)j?1102410211024j?1i?1102110241?[log?3*log1024]*1?0.0335bit/symbol102410211024通过上述计算发现，对题中所给的对称信道，H(X|Y)是一个常数，与p(x)无关。因此，最大化H(X)?H(X|Y)简化为最大化H(X)。根据题意，X有4种可能，因此
H(X)?2bit/symbol，则
C?max[H(X)?H(X|Y)]?2?0.0335?1.9665bit/symbol
p(x)(2)
@知识点：离散信道信道容量的定义。在离散对称信道下，通过计算可知H(X|Y)是与输入无关的常数。这使得信道容量的计算得到简化。
@注意：题中的概率值P(xi/yj)，不是信道转移概率，而是后验概率。信道转移概率定义为P(yj/xi)，计算需要严格按照信道容量的定义C?maxp(y)[H(Y)?H(Y|X)]进行，这时需要搜索C最大时对应的概率值。
另外教材的例题4-2（P80）的解法，该题中默认等概时可以计算出H(X)，然后根据信道转移概率计算等概条件下H(X|Y)，并直接将二者相减得到信道容量。严格的说，这种做法不对，缺乏必要的分析过程，不符合离散信道信道容量的定义。
下面的做法错误：根据给定的p(x)计算p(yi)，进而计算H(X|Y) 4-8
设一幅黑白数字像片有400万个像素，每个像素有16个亮度等级。若用3kHz带宽的信道传输它，且信号噪声功率比等于20dB，试问需要传输多长时间？
解：该图像的信息量I?400*104*4?1.6*107bit， 信道容量为
Ct?Blog2(1?S/N)?3*103*log2(1?100)?1.9975*104b/s
(3)
因此，传输时间t?I/C?1.6*107/(1.9975*104)?801.0s
@知识点：连续信道的信道容量公式C?Blog2(1?SS)?Blog2(1?) Nn0B 噪声功率N?n0B，单边功率谱密度乘以信道带宽；
当信道容量大于信息传输速率，则存在方法可以实现任意小的差错概率进行传输，而不是没有差错；
带宽与信噪比在一定程度上可以互换，但是存在上限，即带宽无穷宽时，信道容量为
1.44Sn0
香农极限：只要满足EbN0??1.6dB，就可以实现可靠传输，信噪比小于则无法传输任何信息。
理想通信系统：实现了极限信息传输速率，即达到信道容量，而且错误率为0的通信系统。
第五章 模拟调制技术
5-3
根据图P5-1所示的调制信号波形，试画出DSB及AM信号的波形图，并比较它们分别通过包络检波器后的波形差别。 m(t) 0 图P5-1 解 设载波c(t)?sin?ct
（1）DSB信号sDSB(t)?m(t)sin?ct的波形如下图（a）所示，通过包络后的输出波形如图（b）所示。
（2）AM信号sAM(t)?[A0?m(t)]?sin?ct，其中A0?|m(t)|max，波形如下图（c）所示，通过包络后的输出波形如图（d）所示。
t 0 t 0 t DSB波形 DSB包络检波后波形 0 t 0 AM波形 AM包络检波后波形 t @知识点： DSB解调信号已严重失真，这说明DSB信号不能直接采用包络检波；而AM信号在满足
A0?|m(t)|max的情况下可采用包络检波恢复m(t)。
5-5
将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若此滤波器的传输函数H(?)如图P5-2所示。当调制信号为m(t)?A?sin100?t?sin6000?t?时，试确定所得残留边带信号的表达式。
H(ω)1-14-10.5-9.50图P5-29.510.514f /kHz
解 设调幅波sAM(t)?[m0?m(t)]cos?ct，其中m0?|m(t)|max，且sAM(t)?SAM(?)。根据残留边带滤波器在fc处具有互补对称特性，可从H(?)图上可知载频fc=10kHz，由此得到载波cos20000?t。因此
sAM(t)?[m0?m(t)]cos20000?t?m0cos20000?t?A?sin100?t?sin6000?t?cos20000?tA?sin20100?t?sin19900?t?sin26000?t?sin14000?t?2j?AsAM(?)??m0??(??20000?)??(??20000?)??[?(??20100?)2??(??20100?)??(??19900?)??(??19900?)??(??26000?)
?m0cos20000?t?
??(??26000?)??(??14000?)??(??14000?)]设残留边带信号为sVSB(t)，且sVSB(t)?SVSB(?)，则SVSB(?)?SAM(?)H(?)，由于sAM(?)是
一组离散谱，残留边带信号的频谱也是离散谱，以H(?)在上述离散谱对应频点上取值作为加权。于是
?f??f??f?f???f故
??10.05kHz时，H(?)?10.05?9.5?0.55??10kHz时，H(?)?0.5??9.95kHz时，H(?)?9.95?9.5?0.45??13kHz时，H(?)?1??7kHz时，H(?)?0
sVSB(?)?j?A[0.55?(??20100?)22 ?0.55?(??20100?)?0.45?(??19900?)?0.45?(??19900?)??(??26000?)??(??26000?)]1AsVSB(t)?m0cos20000?t?[0.55sin20100?t?0.45sin19900?t?sin26000?t]
22m0??(??20000?)??(??20000?)???@知识点：残余边带调制的基本原理，残余边带滤波器在中心频率处互补对称特性。
5-11
某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为10W，由发射机输出端到解调器输入端之间总的传输损耗为100dB，试求： （１） DSB/SC时的发射机输出功率； （２） SSB/SC时的发射机输出功率。 解 接收端：
-9
DSB/SC调制Si/Ni信道损耗DSB/SC解调So/No
根据DSB相干解调的制度增益，有Si/Ni?2(So/No) 则可以计算得到，Si/Ni?50
?9?9又由于No?Ni/4，根据题中给出的条件No?10可以计算Ni?4*10
?9因此，Si?50Ni?200*10
10根据题目的条件传输损耗为100dB，则发射机的输出功率是ST?Si*10?2000W
（2）对SSB/SC，调制制度增益为1，即，Si/Ni?So/No
No?Ni/4，因此，Ni?4*10?9，所以有，Si?100Ni?400*10?9 ST?Si*1010?4000W
5-15
已知某单频调频波的振幅是10V，瞬时频率f(t)?106?104cos2??103t(Hz)试求： （1）此调频波的表达式；
（2）此调频波的最大频率偏移、调频指数和频带宽度；
（3）若调制信号频率提高到2?103Hz，则调频波的频偏、调频指数和频带宽度如何变化？
（4）若峰值频偏加倍，信息信号的幅度怎么变化？
通信原理习题课第一次
