2.5 从力做的功到向量的数量积
典题精讲
例1若|a|=1，|b|=
，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为（ ）
A.30° B.45° C.90° D.135° 思路解析：设a与b的夹角为θ，∵（a-b）·a=0.
2
∴|a|-b·a=0. ∴b·a=1.∴cosθ=
=
.
又∵0°≤θ≤180°， ∴θ=45°. 答案：B
绿色通道：求向量a与b的夹角的步骤： （1）计算b·a，|a|，|b|； （2）计算cos〈a，b〉；
（3）根据范围确定夹角的大小.
变式训练1已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
思路分析：求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可. 解：∵（a+3b）⊥（7a－5b）, ∴（a+3b）·（7a－5b）=0.
22
∴7a+16a·b－15b=0.① 又∵（a－4b）⊥（7a－2b）, ∴（a－4b）·（7a－2b）=0.
22
∴7a－30a·b+8b=0.②
①－②得46a·b=23b，即有a·b=
2
2
2
2
b=
2
|b|.
2
代入①式，得7|a|+8|b|－15|b|=0，
22
故有|a|=|b|，即|a|=|b|.
∴cos〈a，b〉=.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=60°， 即a与b的夹角为60°.
变式训练2已知△ABC中，a=5，b=8，有个同学求解如下： 解：如图2-5-4，∵|
|=a=5，|
|=b=8，
·
=-20，试求C.
1 / 4
图2-5-4
∴cos∠C=
.
又∵0°≤∠C≤180°， ∴∠C=120°.
这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？
思路解析：这位同学的解答不正确，其原因就在于没能正确理解向量夹角的定义.由于BC与cos〈
两向量的起点并不同，故∠C≠〈
,
〉=
，.
〉,而是∠C＋〈
,
〉=180°，则
又∵0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=120°.
∴∠C=60°.
所以这位同学的解答不正确，∠C=60°；批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么这道题就能做对了，请你再试试吧.
例2已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：（a+b）⊥（a－b）.
思路分析：可以证明（a+b）与（a－b）垂直，转化为证明（a+b）与（a－b）的数量积为零.也可以利用向量线性运算的几何意义来证明. 证法一：
∵|2a+b|=|a+2b|，
22
∴（2a+b)=（a+2b).
2222
∴4a+4a·b+b=a+4a·b+4b.
22∴a=b.
22
∴（a+b）·（a－b）=a－b=0.
又a与b不共线，a+b≠0，a－b≠0， ∴（a+b）⊥（a－b）.
证法二：如图2-5-5所示，在平行四边形OCED中，设OC、OD、DE、EC的中点.
=a，
=b,A、B、N、M分别是
图2-5-5
则有2a+b=
+
=
+
=
，
2 / 4
a+2b=a+b=
+=,a-b=
+=
=. |=|
,
∵|2a+b|=|a+2b|，∴|∴△OMN是等腰三角形. 可证F是MN的中点. ∴∴∴
⊥⊥⊥
. . .
|.
∴（a+b）⊥（a－b）.
绿色通道：证明向量垂直的两种方法：①应用化归思想，转化为证明这两个向量的数量积为0.②应用向量加减法的几何意义来证明.
变式训练向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)⊥(a＋b）.
思路分析：转化为证明向量(a-b)和(a＋b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明.
证法一：如图2-5-6所示，在平行四边形OACB中,
图2-5-6
设∴|
=a,|=|
=b,则a-b=|.
，a+b=
，
∴四边形OAＣB是菱形. ∴OC⊥BA.∴
⊥
，
即(a-b)⊥(a＋b）. 证法二：∵|a|=|b|，
2222
∴(a-b)·(a＋b）=a-b=|a|-|b|=0. ∵a、b均为非零向量, ∴a-b≠0，a＋b≠0. ∴(a-b)⊥(a＋b）. 问题探究
问题（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，化简|〈
,
〉；
|+|
2
|-2|
2
|·||cos
3 / 4
高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积例题与探究(含解析)北师大版必修4
